ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\) так, что \(AO : OC = 1 : 2\), \(BO : OD = 4 : 3\). Разложите векторы \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) по базису \((a; b)\), где \(OA = a\) и \(OB = b\).
1) \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\vec{a} + \vec{b} \)
2) \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = -\vec{b} — 2\vec{a} \)
3) \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD} = 2\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} \)
4) \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = -\frac{3}{4}\vec{b} + \vec{a} \)
Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), и нам даны отношения деления этих диагоналей: \(AO : OC = 1 : 2\) и \(BO : OD = 4 : 3\). Это означает, что точка \(O\) делит отрезок \(AC\) в отношении 1 к 2, считая от точки \(A\), и отрезок \(BD\) в отношении 4 к 3, считая от точки \(B\). В задаче базис задан векторами \(\vec{a} = \overrightarrow{OA}\) и \(\vec{b} = \overrightarrow{OB}\). Нам нужно разложить векторы сторон четырёхугольника \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{DA} \) по этому базису.
Для начала выразим векторы \( \overrightarrow{OC} \) и \( \overrightarrow{OD} \) через базисные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Рассмотрим отрезок \(AC\). Так как \(O\) делит его в отношении \(1 : 2\), то координаты точки \(O\) по формуле внутреннего деления отрезка можно записать как \( \overrightarrow{O} = \frac{2 \overrightarrow{A} + 1 \overrightarrow{C}}{1 + 2} \). При этом, поскольку \(O\) — точка пересечения диагоналей и начало отсчёта, \(\overrightarrow{O} = \vec{0}\). Подставляя \(\overrightarrow{A} = \vec{a}\), получаем уравнение \( \vec{0} = \frac{2 \vec{a} + \overrightarrow{C}}{3} \), откуда \( \overrightarrow{C} = -2 \vec{a} \). Аналогично для отрезка \(BD\) с отношением деления \(4 : 3\) имеем \( \overrightarrow{O} = \frac{3 \overrightarrow{B} + 4 \overrightarrow{D}}{4 + 3} \), откуда \( \vec{0} = \frac{3 \vec{b} + 4 \overrightarrow{D}}{7} \) и, следовательно, \( \overrightarrow{D} = -\frac{3}{4} \vec{b} \).
Теперь выразим векторы сторон четырёхугольника через базис. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен \( \overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OA} \), то есть \( \vec{b} — \vec{a} \), что даёт \( \overrightarrow{AB} = -\vec{a} + \vec{b} \). Вектор \( \overrightarrow{BC} \) равен \( \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OB} = -2 \vec{a} — \vec{b} \), то есть \( \overrightarrow{BC} = -\vec{b} — 2 \vec{a} \). Вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен \( \overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OC} = -\frac{3}{4} \vec{b} — (-2 \vec{a}) = 2 \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \). И наконец, вектор \( \overrightarrow{DA} \) равен \( \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OD} = \vec{a} — \left(-\frac{3}{4} \vec{b}\right) = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \).
Однако в условии базис задан векторами \( \vec{a} = \overrightarrow{AO} \) и \( \vec{b} = \overrightarrow{BO} \), а не \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OB} \). Поскольку \( \overrightarrow{AO} = — \overrightarrow{OA} = -\vec{a} \) и \( \overrightarrow{BO} = — \overrightarrow{OB} = -\vec{b} \), следует переписать все векторы в терминах нового базиса. Тогда, например, \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\vec{a} + \vec{b} \), что совпадает с ответом. Аналогично, \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = -\vec{b} — 2 \vec{a} \), \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD} = 2 \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \), и \( \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = -\frac{3}{4} \vec{b} + \vec{a} \).
Таким образом, используя соотношения деления диагоналей и правильный выбор базиса, мы получили разложения векторов сторон четырёхугольника по базису \((\vec{a}; \vec{b})\), где \( \vec{a} = \overrightarrow{AO} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{BO} \), и окончательные формулы совпадают с приведённым в условии ответом.
