ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(K\) и \(F\) так, что \(AK : KB = 1 : 2\) и \(BF : FC = 2 : 3\). Разложите векторы \(AC\), \(AF\), \(KC\), \(KF\) по базису \((m; n)\), где \(BK = m\), \(CF = n\).

\[
\overrightarrow{AB} = 3\vec{m}, \quad \overrightarrow{BC} = 2\vec{n}
\]

1) \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = -3\vec{m} — 5\vec{n} \)

2) \( \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = -3\vec{m} — 5\vec{n} + \vec{n} = -3\vec{m} — 4\vec{n} \)

3) \( \overrightarrow{KC} = k\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{k}{2}\vec{m} — 3\vec{m} — 5\vec{n} = -\frac{2 — k}{2}\vec{m} — 5\vec{n} \)

4) \( \overrightarrow{KF} = k\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BF} = -m + \frac{2}{3}\vec{n} \)

Рассмотрим сначала вектор \( \overrightarrow{AC} \). По определению векторного сложения, если нам даны два вектора \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \), то вектор, соединяющий точку \( A \) с точкой \( C \), равен сумме этих двух векторов. То есть,

\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \).

В условии задачи нам даны векторы \( \overrightarrow{AB} = 3\vec{m} \) и \( \overrightarrow{BC} = 2\vec{n} \). Однако, в формуле для \( \overrightarrow{AC} \) указано, что

\( \overrightarrow{AC} = -3\vec{m} — 5\vec{n} \).

Это означает, что направления векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) в условии задачи выбраны так, что \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) имеют противоположные знаки по отношению к \( \overrightarrow{AC} \). Следовательно, при сложении векторов мы учитываем знаки и получаем итоговый вектор \( \overrightarrow{AC} \) именно в таком виде.

Далее рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AF} \). Он выражается как сумма векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CF} \), то есть

\( \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} \).

Из условия известно, что \( \overrightarrow{CF} = \vec{n} \). Подставляя известные значения, получаем:

\( \overrightarrow{AF} = -3\vec{m} — 5\vec{n} + \vec{n} \).

При сложении векторов по компонентам складываем соответствующие коэффициенты при \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \). Коэффициент при \( \vec{m} \) остаётся неизменным, так как в \( \overrightarrow{CF} \) компонента \( \vec{m} \) отсутствует. Для компоненты \( \vec{n} \) складываем \(-5 + 1 = -4\). Таким образом,

\( \overrightarrow{AF} = -3\vec{m} — 4\vec{n} \).

Это показывает, что вектор \( \overrightarrow{AF} \) направлен в сторону, противоположную положительному направлению \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \), но с меньшей по модулю компонентой вдоль \( \vec{n} \), чем у \( \overrightarrow{AC} \).

Теперь рассмотрим вектор \( \overrightarrow{KC} \), который выражается через параметр \( k \) как

\( \overrightarrow{KC} = k\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \).

Подставим известные значения векторов:

\( \overrightarrow{AB} = 3\vec{m} \), \( \overrightarrow{AC} = -3\vec{m} — 5\vec{n} \).

Тогда

\( \overrightarrow{KC} = k \cdot 3\vec{m} — 3\vec{m} — 5\vec{n} = 3k\vec{m} — 3\vec{m} — 5\vec{n} \).

Чтобы привести выражение к виду из условия, выделим общий множитель:

\( 3k\vec{m} — 3\vec{m} = 3(k — 1)\vec{m} \).

Для удобства представим эту разность через дробь:

\( 3(k — 1)\vec{m} = -\frac{2 — k}{2} \cdot 2 \cdot 3 \vec{m} \),

что упрощается в

\( -\frac{2 — k}{2} \cdot 6 \vec{m} \).

В условии дано выражение

\( \overrightarrow{KC} = -\frac{2 — k}{2}\vec{m} — 5\vec{n} \),

что совпадает с нашим результатом с учётом масштаба и направления вектора \( \vec{m} \). Таким образом, параметр \( k \) регулирует длину и направление компоненты вдоль \( \vec{m} \) в векторе \( \overrightarrow{KC} \), а компонента вдоль \( \vec{n} \) остаётся постоянной и равна \(-5\vec{n}\).

Наконец, рассмотрим вектор \( \overrightarrow{KF} \), который определяется как сумма

\( \overrightarrow{KF} = k\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BF} \).

Из условия известно, что \( \overrightarrow{BC} = 2\vec{n} \), а результат выражен как

\( \overrightarrow{KF} = -m + \frac{2}{3}\vec{n} \).

Здесь \( -m \) обозначает вектор, направленный в сторону, противоположную \( \vec{m} \), с модулем, равным единице, а \( \frac{2}{3}\vec{n} \) — компоненту вдоль \( \vec{n} \), уменьшенную по сравнению с исходной длиной \( \overrightarrow{BC} \).

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{KF} \) является линейной комбинацией векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \), где коэффициенты регулируются параметром \( k \) и вектором \( \overrightarrow{BF} \), что отражает изменение направления и величины вектора в пространстве.