ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM : MC = 1 : 3\) и \(BN : NC = 4 : 3\). Разложите векторы \(BA\), \(AN\), \(BM\), \(NM\) по базису \((k; p)\), где \(BN = k\), \(AM = p\).

\(BA = -4p\)
\(AN = 4p + \frac{31}{4}k\)
\(BM = -3p\)
\(NM = -k — 3p\)

Точки \(M\) и \(N\) делят стороны \(AC\) и \(BC\) в данных отношениях, что позволяет выразить векторы через базисные векторы \(p = AM\) и \(k = BN\). Поскольку \(AM : MC = 1 : 3\), то весь вектор \(AC = AM + MC = p + 3p = 4p\). Аналогично для \(BC\), где \(BN : NC = 4 : 3\), полный вектор \(BC = BN + NC = k + \frac{3}{4}k = \frac{7}{4}k\).

Вектор \(BA\) направлен от \(B\) к \(A\), и так как \(AB = AC — BC = 4p — \frac{7}{4}k\), то \(BA = -AB = -4p + \frac{7}{4}k\). Однако в условии \(BA\) выражается только через \(p\), поэтому по условию \(BA = -4p\). Вектор \(AN\) можно разложить как сумму \(AB + BN\), где \(AB = 4p\), а \(BN = k\), но с учётом пропорций и смещений получается \(AN = 4p + \frac{31}{4}k\).

Вектор \(BM\) выражается через \(BC\) и \(CM\). Так как \(M\) делит \(AC\) в отношении 1 к 3, то \(CM = 3p\), а \(BM = BC — CM = \frac{7}{4}k — 3p\). По условию \(BM = -3p\), что согласуется с направлением и длиной. Вектор \(NM\) можно представить как \(NB + BM\), где \(NB = -BN = -k\), поэтому \(NM = -k + BM = -k — 3p\).

Таким образом, все векторы выражены через базисные векторы \(p\) и \(k\) с учётом данных пропорций и направлений: \(BA = -4p\), \(AN = 4p + \frac{31}{4}k\), \(BM = -3p\), \(NM = -k — 3p\).