ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\). Разложите вектор \(BM\) по базису: 1) \((BA; BC)\); 2) \((BA; CA)\).
1) \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \)
2) \( \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BA} — \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} \)
Медианы треугольника пересекаются в точке \( M \), которая делит каждую медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины. Рассмотрим медиану, исходящую из вершины \( B \), которая идет к середине стороны \( AC \). Точка середины \( D \) стороны \( AC \) находится как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( C \), то есть \( D = \frac{A + C}{2} \). Точка пересечения медиан \( M \) — это центр масс треугольника, и её координаты равны среднему арифметическому координат всех трёх вершин: \( M = \frac{A + B + C}{3} \).
Чтобы выразить вектор \( \overrightarrow{BM} \) через базисные векторы, сначала запишем его через координаты точек: \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{OM} — \overrightarrow{OB} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} — \overrightarrow{OB} \). После упрощения получаем \( \overrightarrow{BM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} — 2 \overrightarrow{OB}}{3} \). Введём векторы \( \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B} \) и \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{B} \). Тогда выражение для \( \overrightarrow{BM} \) можно переписать как \( \overrightarrow{BM} = \frac{\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{3} \).
Для первого базиса \( (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) \) ответ очевиден: \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \). Для второго базиса \( (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CA}) \) нужно выразить \( \overrightarrow{BC} \) через \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{CA} \). Заметим, что \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} — \overrightarrow{C} = -(\overrightarrow{C} — \overrightarrow{A}) \), поэтому \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA} — \overrightarrow{CA} \). Подставляя это в формулу для \( \overrightarrow{BM} \), получаем \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{CA}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{BA} — \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} \).
