ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника.
Пусть \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \). Тогда векторы:
\( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \),
\( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \).
Вектор средней линии:
\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \).
Следовательно, средняя линия параллельна стороне \( BC \) и равна её половине.
Пусть у нас есть треугольник \( ABC \), в котором точки \( M \) и \( N \) являются серединами сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно. Это означает, что точка \( M \) делит отрезок \( AB \) на две равные части, а точка \( N \) делит отрезок \( AC \) также на две равные части. Рассмотрим векторы, исходящие из вершины \( A \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) обозначим как \( \vec{u} \), а вектор \( \overrightarrow{AC} \) как \( \vec{v} \).
Так как \( M \) — середина \( AB \), то вектор \( \overrightarrow{AM} \) равен половине вектора \( \overrightarrow{AB} \), то есть \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \vec{u} \). Аналогично, поскольку \( N \) — середина \( AC \), то вектор \( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \vec{v} \). Теперь рассмотрим вектор, соединяющий точки \( M \) и \( N \), то есть \( \overrightarrow{MN} \). Его можно выразить через векторы относительно точки \( A \) как разность \( \overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM} \).
Подставляя значения, получаем \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \vec{v} — \frac{1}{2} \vec{u} = \frac{1}{2} (\vec{v} — \vec{u}) \). Вектор \( \vec{v} — \vec{u} \) равен вектору \( \overrightarrow{BC} \), так как \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB} \). Следовательно, \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \). Это показывает, что вектор \( \overrightarrow{MN} \) направлен параллельно вектору \( \overrightarrow{BC} \) и его длина в два раза меньше длины \( \overrightarrow{BC} \).
Таким образом, средняя линия \( MN \) параллельна стороне \( BC \) и равна половине её длины. Это является доказательством теоремы о средней линии треугольника с помощью векторов. Важным моментом здесь является использование свойств векторов и определения середины отрезка, что позволяет легко и наглядно показать нужное равенство и параллельность.
