ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
С помощью векторов докажите теорему о средней линии трапеции.
Пусть \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\) трапеции \(ABCD\). Тогда векторы точек:
\(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\), \(\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\).
Вектор средней линии:
\(\vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{(\vec{B} — \vec{A}) + (\vec{C} — \vec{D})}{2}\).
Поскольку \(\vec{AB} = \vec{B} — \vec{A}\) и \(\vec{DC} = \vec{C} — \vec{D}\), то
\(\vec{MN} = \frac{\vec{AB} + \vec{DC}}{2}\).
Следовательно, средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им.
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), которые параллельны друг другу. Обозначим середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\) как точки \(M\) и \(N\) соответственно. По определению середины отрезка, координаты или векторы этих точек можно выразить как среднее арифметическое координат концов отрезка. То есть вектор точки \(M\) равен \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\), а вектор точки \(N\) равен \(\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\).
Чтобы найти вектор средней линии \(MN\), нужно вычислить разность векторов \(\vec{N}\) и \(\vec{M}\). Подставляя выражения для \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\), получаем: \(\vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{(\vec{B} — \vec{A}) + (\vec{C} — \vec{D})}{2}\). Здесь мы сгруппировали слагаемые так, чтобы выделить векторы оснований трапеции. Вектор \(\vec{B} — \vec{A}\) соответствует вектору основания \(AB\), а вектор \(\vec{C} — \vec{D}\) соответствует вектору основания \(CD\).
Таким образом, вектор средней линии \(MN\) равен полусумме векторов оснований: \(\vec{MN} = \frac{\vec{AB} + \vec{CD}}{2}\). Это означает, что длина средней линии равна половине суммы длин оснований, а направление вектора \(\vec{MN}\) совпадает с направлением оснований, то есть средняя линия параллельна им. Следовательно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
