ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть точки \(M\) и \(N\) соответственно середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) \((BC | AD)\). С помощью векторов докажите, что \(MN | AD\).

Пусть \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \), \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \). Тогда \( \vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{D} — \vec{A} — \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{B} — \vec{A}) + (\vec{D} — \vec{C})}{2} \). Так как \( BC \parallel AD \), то \( \vec{C} — \vec{B} = \lambda (\vec{D} — \vec{A}) \). Подставляя, получаем \( \vec{MN} = \frac{(1 — \lambda)(\vec{D} — \vec{A})}{2} \), следовательно, \( MN \parallel AD \).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC \parallel AD\). Обозначим радиус-вектора точек через \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \). Точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), соответственно, значит их радиус-вектора равны \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \) и \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \). Чтобы найти вектор, соединяющий эти точки, вычислим разность \( \vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{B} — \vec{A}) + (\vec{D} — \vec{C})}{2} \).

Из условия параллельности оснований трапеции следует, что \( \vec{BC} \parallel \vec{AD} \), то есть векторы \( \vec{C} — \vec{B} \) и \( \vec{D} — \vec{A} \) коллинеарны. Это означает существование числа \( \lambda \), для которого верно равенство \( \vec{C} — \vec{B} = \lambda (\vec{D} — \vec{A}) \). Используя это, выразим \( \vec{C} = \vec{B} + \lambda (\vec{D} — \vec{A}) \) и подставим в выражение для \( \vec{MN} \).

Подставляя, получаем \( \vec{MN} = \frac{(\vec{B} — \vec{A}) + (\vec{D} — (\vec{B} + \lambda (\vec{D} — \vec{A})))}{2} = \frac{\vec{B} — \vec{A} + \vec{D} — \vec{B} — \lambda \vec{D} + \lambda \vec{A}}{2} = \frac{(1 — \lambda) \vec{D} + (\lambda — 1) \vec{A}}{2} =\)
\(= \frac{(1 — \lambda)(\vec{D} — \vec{A})}{2} \).
Таким образом, вектор \( \vec{MN} \) выражается через вектор основания \( \vec{AD} \) с некоторым множителем.

Поскольку \( \vec{MN} = \frac{1 — \lambda}{2} (\vec{D} — \vec{A}) \), вектор \( \vec{MN} \) коллинеарен вектору \( \vec{AD} \), а значит отрезок \(MN\) параллелен основанию \(AD\). Это доказывает параллельность \(MN\) и \(AD\) с помощью векторного метода, используя только свойства середины отрезка и условия параллельности оснований трапеции.