ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(M_1\) и \(M_2\) середины отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно. Докажите, что \(M_1M_2 = -\frac{1}{2}(AA_2 + B_1B_2)\).

Пусть \( M_1 \) и \( M_2 \) — середины отрезков \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \). Тогда

\( \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} \),

\( \overrightarrow{M_2} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} \).

Вектор \( \overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{M_2} — \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{B_1}}{2} = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2}}{2} \).

Пусть даны отрезки \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \), и точки \( M_1 \) и \( M_2 \) — их середины соответственно. По определению середины отрезка точка \( M_1 \) делит отрезок \( A_1B_1 \) пополам, значит координаты или векторное положение \( M_1 \) можно выразить как среднее арифметическое векторов \( \overrightarrow{A_1} \) и \( \overrightarrow{B_1} \). Аналогично для \( M_2 \) это будет среднее арифметическое векторов \( \overrightarrow{A_2} \) и \( \overrightarrow{B_2} \). То есть мы можем записать \( \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} \) и \( \overrightarrow{M_2} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} \).

Чтобы найти вектор, направленный из точки \( M_1 \) в точку \( M_2 \), нужно вычесть из вектора \( \overrightarrow{M_2} \) вектор \( \overrightarrow{M_1} \). Получаем \( \overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{M_2} — \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} — \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} \). Приводя к общему знаменателю и группируя слагаемые, имеем \( \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{(\overrightarrow{A_2} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{B_1})}{2} \).

Вектор \( \overrightarrow{A_1A_2} \) по определению равен разности векторов \( \overrightarrow{A_2} — \overrightarrow{A_1} \), а вектор \( \overrightarrow{B_1B_2} \) равен \( \overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{B_1} \). Подставляя эти обозначения обратно, получаем окончательное выражение \( \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2}}{2} \). Таким образом, вектор, соединяющий середины двух отрезков, равен половине суммы векторов, соединяющих соответствующие концы этих отрезков.