ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки \(M\) и \(N\) соответственно середины противолежащих сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что если \(MN = \frac{1}{2}(BC + AD)\), то \(BC | AD\).
Пусть \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\), тогда \(\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} — \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}}{2}\). Если \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})\), то векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) коллинеарны, следовательно \(BC \parallel AD\).
Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\). По определению середины отрезка, координаты точек \(M\) и \(N\) можно выразить через векторы вершин: \( \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} \) и \( \overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} \), где \(O\) — произвольная точка отсчёта. Тогда вектор \( \overrightarrow{MN} \) равен разности координат \(N\) и \(M\), то есть \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} — \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} — \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} \). Преобразуем это выражение, сгруппировав векторы: \( \overrightarrow{MN} = \frac{(\overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OA})}{2} \).
Векторы \( \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OA} \) представляют собой векторы сторон \(BC\) и \(AD\) соответственно, то есть \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OA} \). Следовательно, \( \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}}{2} \). Это равенство показывает, что вектор, соединяющий середины противоположных сторон, равен половине суммы векторов этих сторон. Если при этом выполняется условие \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) \), то сумма векторов \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} \) направлена так же, как \( \overrightarrow{MN} \).
Для того чтобы сумма двух векторов была коллинеарна с их средней точкой на отрезке, эти два вектора должны быть параллельны. Иначе сумма векторов, направленных в разные стороны, не может быть коллинеарна одному из них или их среднему значению. Следовательно, из условия \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) \) следует, что векторы \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AD} \) коллинеарны, то есть стороны \(BC\) и \(AD\) параллельны. Это и доказывает, что если вектор, соединяющий середины сторон \(AB\) и \(CD\), равен половине суммы векторов \(BC\) и \(AD\), то \(BC \parallel AD\).
