ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки \(M\) и \(N\) соответственно середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что \(MN = -\frac{1}{2}(AB DC)\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей, значит \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \), \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} \). Тогда
\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} — \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} — \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})}{2} = -\frac{(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) — (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D})}{2} =\)
\(= -\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2} \).
Пусть \(ABCD\) — произвольный четырёхугольник, и точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно. Это означает, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) пополам, а точка \(N\) — отрезок \(BD\) пополам. Векторное положение этих точек можно выразить через координаты вершин четырёхугольника. Для точки \(M\) координаты равны среднему арифметическому координат точек \(A\) и \(C\), то есть \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \). Аналогично для точки \(N\) имеем \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} \).
Чтобы найти вектор \( \overrightarrow{MN} \), нужно из координат точки \(N\) вычесть координаты точки \(M\). Это даёт
\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} — \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} — \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})}{2} \).
Далее рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \). По определению,
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} — \overrightarrow{A} \),
\( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{D} \).
Сложив эти два вектора, получаем
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{D}) = (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) \).
Обратите внимание, что выражение в скобках отличается от того, что мы получили для \( \overrightarrow{MN} \), где стоит \( (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) \). Если переписать разность для \( \overrightarrow{MN} \) в виде
\( \overrightarrow{MN} = \frac{(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})}{2} = -\frac{(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) — (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D})}{2} \),
то видим, что
\( (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) — (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) = (\overrightarrow{A} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{D}) = -(\overrightarrow{B} — \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} — \overrightarrow{C}) = \)
\(=-(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}) \).
Подставляя это обратно, получаем
\( \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}) \)\(= -\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2} \).
Таким образом, мы доказали, что вектор, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника, равен половине с противоположным знаком сумме векторов сторон \(AB\) и \(DC\). Это соотношение отражает геометрическую связь между сторонами и диагоналями четырёхугольника и может быть полезно при исследовании его свойств.
