ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписаны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) с ортоцентрами \(H\) и \(H_1\) соответственно. Докажите, что \(HH_1 = AA_1 + BB_1 + CC_1\).

Вектор ортоцентра треугольника \(H = A + B + C — 2O\), где \(O\) — центр описанной окружности. Аналогично для второго треугольника \(H_1 = A_1 + B_1 + C_1 — 2O\). Тогда

\(HH_1 = H_1 — H = (A_1 — A) + (B_1 — B) + (C_1 — C) = AA_1 + BB_1 + CC_1\).

Ортоцентр треугольника \(ABC\) можно выразить через координаты его вершин и центр описанной окружности \(O\). Если задать векторы точек \(A, B, C\) и \(O\), то ортоцентр \(H\) находится по формуле \(H = A + B + C — 2O\). Это связано с тем, что ортоцентр является отражением центра тяжести треугольника относительно центра описанной окружности, умноженным на два. Аналогично, для второго треугольника \(A_1B_1C_1\) с ортоцентром \(H_1\) имеем \(H_1 = A_1 + B_1 + C_1 — 2O\).

Теперь рассмотрим вектор разности ортоцентров \(HH_1 = H_1 — H\). Подставляя выражения для \(H\) и \(H_1\), получаем \(HH_1 = (A_1 + B_1 + C_1 — 2O) — (A + B + C — 2O) = (A_1 — A) + (B_1 — \)
\(-B) + (C_1 — C)\). Здесь видно, что вектор, соединяющий ортоцентры, равен сумме векторов, соединяющих соответствующие вершины двух треугольников.

Таким образом, длина вектора \(HH_1\) равна длине суммы векторов \(AA_1, BB_1\) и \(CC_1\). Это доказывает равенство \(HH_1 = AA_1 + BB_1 + CC_1\) в векторном смысле, то есть вектор из \(H\) в \(H_1\) равен векторной сумме векторов из \(A\) в \(A_1\), из \(B\) в \(B_1\) и из \(C\) в \(C_1\).