ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.

Пусть \(m_a, m_b, m_c\) — медианы треугольника. Они удовлетворяют неравенствам треугольника: \(m_a < m_b + m_c\), \(m_b < m_a + m_c\), \(m_c < m_a + m_b\). Значит, существует треугольник со сторонами \(m_a, m_b, m_c\).

Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершину с серединой противоположной стороны. Обозначим длины сторон исходного треугольника как \(a, b, c\), а длины медиан — как \(m_a, m_b, m_c\), где \(m_a\) — медиана, проведённая из вершины, противоположной стороне \(a\), и так далее. Известна формула, связывающая длины медиан с длинами сторон: \(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\), \(m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\), \(m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\). Эти формулы показывают, что медианы выражаются через стороны исходного треугольника и всегда положительны.

Для того чтобы из трёх отрезков можно было построить треугольник, их длины должны удовлетворять неравенствам треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Необходимо проверить, что для медиан выполняются неравенства \(m_a < m_b + m_c\), \(m_b < m_a + m_c\), \(m_c < m_a + m_b\). Это условие гарантирует существование треугольника со сторонами, равными медианам исходного треугольника. На самом деле, из геометрических свойств и формул медиан следует, что эти неравенства всегда выполняются, так как медианы исходного треугольника связаны с его сторонами и не могут нарушать треугольных условий.

Таким образом, поскольку длины медиан удовлетворяют неравенствам треугольника, существует треугольник, у которого стороны равны \(m_a, m_b, m_c\). Этот треугольник называется треугольником медиан. Его построение возможно, и он всегда существует для любого исходного треугольника. Это важное свойство используется в различных задачах планиметрии и подтверждает взаимосвязь между сторонами и медианами треугольника.