ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(BC\), \(CA\) и \(AB\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) так, что \(\frac{BA}{AC_1} = \frac{CB}{BA_1} = \frac{AC}{CB_1}\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).

Пусть \(A_1, B_1, C_1\) — точки на сторонах \(BC, CA, AB\) соответственно, такие что \(\frac{BA}{AC_1} = \frac{CB}{BA_1} = \frac{AC}{CB_1} = k\). Тогда \(A_1 = B + \frac{1}{k}(C — B)\), \(B_1 = C + \frac{1}{k}(A — C)\), \(C_1 = A + \frac{1}{k}(B — A)\).

Векторы отрезков:

\(
\vec{AA_1} = (B — A) + \frac{1}{k}(C — B), \quad \vec{BB_1} = (C — B) + \)
\(+\frac{1}{k}(A — C), \quad \vec{CC_1} = (A — C) + \frac{1}{k}(B — A).
\)

Сумма этих векторов равна нулю:

\[
\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 0,
\]

значит отрезки \(AA_1, BB_1, CC_1\) могут быть сторонами треугольника.

Пусть в треугольнике \(ABC\) на сторонах \(BC, CA, AB\) отмечены точки \(A_1, B_1, C_1\) соответственно так, что выполняется равенство \(\frac{BA}{AC_1} = \frac{CB}{BA_1} = \frac{AC}{CB_1} = k\). Это означает, что отрезки, на которых лежат точки \(A_1, B_1, C_1\), делятся в определённом отношении, зависящем от параметра \(k\). Для удобства обозначим стороны треугольника: \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\). Тогда длины частей, на которых расположены точки, выражаются через \(k\) как \(AC_1 = \frac{c}{k}\), \(BA_1 = \frac{a}{k}\), \(CB_1 = \frac{b}{k}\). Это позволяет нам определить точное положение точек \(A_1, B_1, C_1\) на сторонах треугольника.

Используя векторный подход, зададим векторы вершин треугольника: \(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\). Точка \(A_1\) на стороне \(BC\) может быть записана как \(\vec{A_1} = \vec{B} + \frac{1}{k}(\vec{C} — \vec{B})\), поскольку она делит сторону \(BC\) в отношении, определённом параметром \(k\). Аналогично, точки \(B_1\) и \(C_1\) имеют координаты \(\vec{B_1} = \vec{C} + \frac{1}{k}(\vec{A} — \vec{C})\) и \(\vec{C_1} = \vec{A} + \frac{1}{k}(\vec{B} — \vec{A})\) соответственно. Таким образом, мы выразили координаты точек \(A_1, B_1, C_1\) через вершины треугольника и параметр \(k\), что позволяет нам перейти к вычислению векторов отрезков \(AA_1, BB_1, CC_1\).

Теперь найдём векторы отрезков: \(\vec{AA_1} = \vec{A_1} — \vec{A} = (\vec{B} — \vec{A}) + \frac{1}{k}(\vec{C} — \vec{B})\), \(\vec{BB_1} = \vec{B_1} — \vec{B} = (\vec{C} — \vec{B}) + \frac{1}{k}(\vec{A} — \vec{C})\), \(\vec{CC_1} = \vec{C_1} — \vec{C} = (\vec{A} — \vec{C}) + \frac{1}{k}(\vec{B} — \vec{A})\).
Сложив эти три вектора, получаем:

\(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{B} — \vec{A}) + \frac{1}{k}(\vec{C} — \vec{B}) + (\vec{C} — \vec{B}) +\)
\(+ \frac{1}{k}(\vec{A} — \vec{C}) + (\vec{A} — \vec{C}) + \frac{1}{k}(\vec{B} — \vec{A})\).

Группируя подобные слагаемые, мы видим, что коэффициенты при \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\) в сумме равны нулю, что даёт векторную сумму равную нулю. Это значит, что векторы \(\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}\) образуют замкнутую ломаную, то есть стороны некоторого треугольника. Следовательно, существует треугольник со сторонами, равными отрезкам \(AA_1, BB_1, CC_1\).