ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(M\) и \(N\) середины соответственно сторон \(AB\) и \(CD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны \(\frac{1}{2}AC\), \(\frac{1}{2}BD\) и \(MN\).

Вектор \(MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD\). Следовательно, векторы \(\frac{1}{2}AC\), \(\frac{1}{2}BD\) и \(-MN\) образуют замкнутый треугольник, значит существует треугольник со сторонами \( \frac{1}{2}AC \), \( \frac{1}{2}BD \) и \( MN \).

Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\), значит векторы их положения выражаются как \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \) и \( \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \). Вектор \(MN\) тогда равен разности этих векторов: \( \vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{(\vec{C} — \vec{A}) + (\vec{D} — \vec{B})}{2} \). Здесь мы видим, что \( \vec{MN} \) является полусуммой векторов диагоналей \( \vec{AC} = \vec{C} — \vec{A} \) и \( \vec{BD} = \vec{D} — \vec{B} \).

Из этого равенства следует, что вектор \( \vec{MN} \) можно представить как сумму двух векторов, каждый из которых вдвое меньше соответствующей диагонали: \( \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} \). Рассмотрим теперь три вектора: \( \frac{1}{2}\vec{AC} \), \( \frac{1}{2}\vec{BD} \) и \( -\vec{MN} \). Их сумма равна нулю, так как \( \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} — \vec{MN} = \vec{0} \). Это означает, что эти три вектора могут быть расположены последовательно в пространстве так, что они образуют замкнутый треугольник.

Длина каждой стороны такого треугольника равна модулю соответствующего вектора: \( \frac{1}{2}AC \), \( \frac{1}{2}BD \) и \( MN \). Поскольку сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей, а в данном случае векторы образуют замкнутый треугольник, то существует геометрический треугольник с указанными длинами сторон. Таким образом, доказано, что существует треугольник со сторонами, равными \( \frac{1}{2}AC \), \( \frac{1}{2}BD \) и \( MN \).