ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.53 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(M_1\) и \(M_2\) середины отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно. Докажите, что середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\), \(B_1B_2\) лежат на одной прямой.

Пусть \(M_1 = \frac{A_1 + B_1}{2}\), \(M_2 = \frac{A_2 + B_2}{2}\). Тогда середины отрезков:
\(P = \frac{A_1 + A_2}{2}\),
\(Q = \frac{M_1 + M_2}{2} = \frac{A_1 + B_1 + A_2 + B_2}{4}\),
\(R = \frac{B_1 + B_2}{2}\).

Вычислим векторы:
\(Q — P = \frac{B_1 + B_2 — A_1 — A_2}{4}\),
\(R — Q = \frac{B_1 + B_2 — A_1 — A_2}{4}\).

Так как \(Q — P = R — Q\), точки \(P, Q, R\) коллинеарны.

Пусть заданы точки \(A_1\), \(B_1\), \(A_2\), \(B_2\) с векторными координатами \(\vec{A_1}\), \(\vec{B_1}\), \(\vec{A_2}\), \(\vec{B_2}\). По условию точки \(M_1\) и \(M_2\) являются серединами отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно, значит их координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезков: \(\vec{M_1} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1}}{2}\) и \(\vec{M_2} = \frac{\vec{A_2} + \vec{B_2}}{2}\). Это значит, что \(M_1\) и \(M_2\) лежат ровно посередине отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\).

Теперь рассмотрим середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\) и \(B_1B_2\). Их координаты будут: \(\vec{P} = \frac{\vec{A_1} + \vec{A_2}}{2}\), \(\vec{Q} = \frac{\vec{M_1} + \vec{M_2}}{2} = \frac{\frac{\vec{A_1} + \vec{B_1}}{2} + \frac{\vec{A_2} + \vec{B_2}}{2}}{2} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{A_2} + \vec{B_2}}{4}\), \(\vec{R} = \frac{\vec{B_1} + \vec{B_2}}{2}\). Таким образом, каждая из этих точек — середина соответствующего отрезка.

Чтобы доказать, что точки \(P\), \(Q\) и \(R\) лежат на одной прямой, нужно проверить, что векторы \(\vec{PQ}\) и \(\vec{QR}\) коллинеарны, то есть один является скалярным множителем другого. Найдём эти векторы: \(\vec{PQ} = \vec{Q} — \vec{P} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{A_2} + \vec{B_2}}{4} — \frac{\vec{A_1} + \vec{A_2}}{2} = \frac{\vec{B_1} + \vec{B_2} — \vec{A_1} — \vec{A_2}}{4}\), а \(\vec{QR} = \vec{R} — \vec{Q} = \frac{\vec{B_1} + \vec{B_2}}{2} — \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{A_2} + \vec{B_2}}{4} = \frac{\vec{B_1} + \vec{B_2} — \vec{A_1} — \vec{A_2}}{4}\).

Мы видим, что \(\vec{PQ} = \vec{QR}\), то есть векторы совпадают по направлению и длине, следовательно, точки \(P\), \(Q\) и \(R\) лежат на одной прямой, и точка \(Q\) является серединой отрезка \(PR\). Это доказывает, что середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\) и \(B_1B_2\) коллинеарны.