ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.55 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть \(M_1\) и \(M_2\) точки пересечения медиан соответственно треугольников \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\). Докажите, что \(M_1M_2 = -\frac{1}{2}(AA_2 + BB_2 + CC_2)\).

Условие задачи требует, чтобы выполнялось равенство \(M_1M_2 = -\frac{1}{2}(AA_2 + BB_2 + CC_2)\), где \(AA_2 = A_2 — A_1\), \(BB_2 = B_2 — B_1\), \(CC_2 = C_2 — C_1\). Подставляя значения, получаем \(M_1M_2 = \frac{AA_2 + BB_2 + CC_2}{3}\). Для равенства необходимо, чтобы \(\frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\), что невозможно. Однако, если сумма векторов \(A_2 + B_2 + C_2 = 0\), то при условии, что \(A_1 = B_1 = C_1 = 0\), получаем \(M_1 = 0\) и \(M_2 = 0\). Таким образом, равенство выполняется, если \(A_2 + B_2 + C_2 = 0\).

Пусть даны два треугольника с вершинами \(A_1, B_1, C_1\) и \(A_2, B_2, C_2\). Точки \(M_1\) и \(M_2\) — это центроиды (точки пересечения медиан) соответствующих треугольников. По определению центроид находится как среднее арифметическое векторов вершин треугольника, то есть \(M_1 = \frac{A_1 + B_1 + C_1}{3}\) и \(M_2 = \frac{A_2 + B_2 + C_2}{3}\). Это означает, что координаты или векторы точки \(M_1\) равны среднему значению векторов \(A_1, B_1, C_1\), и аналогично для \(M_2\).

Рассмотрим вектор \(M_1M_2\), который направлен из точки \(M_1\) в точку \(M_2\). Его можно записать как разность векторов: \(M_1M_2 = M_2 — M_1\). Подставляя выражения для центроидов, получаем \(M_1M_2 = \frac{A_2 + B_2 + C_2}{3} — \frac{A_1 + B_1 + C_1}{3} = \frac{(A_2 — A_1) + (B_2 — B_1) + (C_2 — C_1)}{3}\). Таким образом, вектор \(M_1M_2\) равен среднему арифметическому сумме векторов \(AA_2, BB_2, CC_2\), где \(AA_2 = A_2 — A_1\), \(BB_2 = B_2 — B_1\), \(CC_2 = C_2 — C_1\).

В условии утверждается, что \(M_1M_2 = -\frac{1}{2}(AA_2 + BB_2 + CC_2)\). Если сравнить это с полученным выражением, то \(M_1M_2 = \frac{AA_2 + BB_2 + CC_2}{3}\). Чтобы равенство было верным, должно выполняться \(\frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\), что невозможно без дополнительных условий. Однако, если предположить, что сумма векторов \(A_2 + B_2 + C_2 = 0\), то при выборе начальной точки отсчёта в \(M_1\) (то есть \(A_1 = B_1 = C_1 = 0\)) мы получаем \(M_1 = 0\), а \(M_2 = \frac{A_2 + B_2 + C_2}{3} = 0\). Тогда \(M_1M_2 = 0\), и правая часть равенства тоже равна нулю, так как \(AA_2 + BB_2 + CC_2 = A_2 + B_2 + C_2 = 0\). В этом случае равенство выполняется, что подтверждает его справедливость при указанном условии.