ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.56 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(CA\) треугольника \(ABC\) выбраны соответственно точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) так, что \(\frac{AC_1}{CB} = \frac{BA_1}{AC} = \frac{CB_1}{BA}\). Докажите, что точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) совпадают.

Центроиды треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) совпадают, так как:

1. Точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) делят стороны \(BC\), \(CA\), \(AB\) в одинаковых отношениях: \( \frac{AC_1}{CB} = \frac{BA_1}{AC} = \frac{CB_1}{BA} = k \).
2. Центроид \(G\) треугольника \(ABC\) равен \( G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \).
3. Центроид \(G_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\) вычисляется как \( G_1 = \frac{(1-k)\vec{B} + k\vec{C} + (1-k)\vec{C} + k\vec{A} + (1-k)\vec{A} + k\vec{B}}{3} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \).
4. Таким образом, \(G_1 = G\).

Центроиды треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) совпадают. Рассмотрим треугольник \(ABC\) с вершинами, обозначенными векторно как \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\). На сторонах \(BC\), \(CA\) и \(AB\) выбраны точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно, так что \(\frac{BA_1}{AC} = k\), \(\frac{CB_1}{BA} = k\) и \(\frac{AC_1}{CB} = k\). Это означает, что точки делят соответствующие стороны в одинаковых пропорциях.

Для нахождения координат центроидов треугольников, начнем с треугольника \(ABC\). Центроид \(G\) вычисляется по формуле \(G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}\). Теперь определим координаты точек \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Точка \(A_1\) на стороне \(BC\) делит её в отношении \(k\), поэтому:

\[
\vec{A_1} = (1-k)\vec{B} + k\vec{C}.
\]

Точка \(B_1\) на стороне \(CA\) также делит её в отношении \(k\):

\[
\vec{B_1} = (1-k)\vec{C} + k\vec{A}.
\]

Аналогично, точка \(C_1\) на стороне \(AB\) определится как:

\[
\vec{C_1} = (1-k)\vec{A} + k\vec{B}.
\]

Теперь найдем центроид \(G_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\):

\[
G_1 = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}}{3}.
\]

Подставим выражения для \(\vec{A_1}\), \(\vec{B_1}\) и \(\vec{C_1}\):

\[
G_1 = \frac{[(1-k)\vec{B} + k\vec{C}] + [(1-k)\vec{C} + k\vec{A}] + [(1-k)\vec{A} + k\vec{B}]}{3}.
\]

Сгруппируем по векторам \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{C}\):

\(
G_1 = \frac{[(1-k) + k]\vec{A} + [(1-k) + k]\vec{B} + [(1-k) + k]\vec{C}}{3} =\frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = G.
\)

Таким образом, мы пришли к выводу, что центроиды треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) совпадают, что и требуется доказать.