ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.57 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник \(ABCD\) является вписанным. Точки \(H_1\), \(H_2\), \(H_3\) и \(H_4\) ортоцентры соответственно треугольников \(BCD\), \(ACD\), \(ABD\) и \(ABC\). Докажите, что середины отрезков \(AH_1\), \(BH_2\), \(CH_3\) и \(DH_4\) совпадают.

Пусть \(O\) — центр описанной окружности четырёхугольника \(ABCD\). Ортоцентр треугольника с вершинами \(X, Y, Z\) выражается как \(H = X + Y + Z — 2O\). Тогда

\(H_1 = B + C + D — 2O\),
\(H_2 = A + C + D — 2O\),
\(H_3 = A + B + D — 2O\),
\(H_4 = A + B + C — 2O\).

Середина отрезка \(AH_1\) равна \(\frac{A + H_1}{2} = \frac{A + B + C + D — 2O}{2}\). Аналогично для остальных середин. Значит все середины совпадают и равны \(\frac{A + B + C + D}{2} — O\).

Рассмотрим вписанный четырёхугольник \(ABCD\), то есть все его вершины лежат на одной окружности с центром \(O\). Для каждого треугольника, образованного тремя из этих точек, существует ортоцентр — точка пересечения высот. Ортоцентр треугольника можно выразить через векторы вершин и центр описанной окружности следующим образом: если треугольник имеет вершины \(X, Y, Z\), а \(O\) — центр его описанной окружности, то ортоцентр равен \(H = X + Y + Z — 2O\). Это выражение основано на свойствах ортоцентра и центра описанной окружности и является классическим векторным представлением.

Применяя эту формулу к четырём треугольникам, образованным вершинами четырёхугольника \(ABCD\), получаем ортоцентры: \(H_1 = B + C + D — 2O\) для треугольника \(BCD\), \(H_2 = A + C + D — 2O\) для \(ACD\), \(H_3 = A + B + D — 2O\) для \(ABD\), и \(H_4 = A + B + C — 2O\) для \(ABC\). Здесь важно, что центр описанной окружности \(O\) одинаков для всех треугольников, так как они все вписаны в одну и ту же окружность, на которой лежат точки \(A, B, C, D\).

Далее рассмотрим середины отрезков, соединяющих вершины четырёхугольника с соответствующими ортоцентрами: середина отрезка \(AH_1\) равна \(\frac{A + H_1}{2} = \frac{A + B + C + D — 2O}{2}\). Аналогично, середина отрезка \(BH_2\) равна \(\frac{B + H_2}{2} = \frac{A + B + C + D — 2O}{2}\), середина \(CH_3\) равна \(\frac{C + H_3}{2} = \frac{A + B + C + D — 2O}{2}\), и середина \(DH_4\) равна \(\frac{D + H_4}{2} = \frac{A + B + C + D — 2O}{2}\). Таким образом, все четыре середины совпадают и равны точке \(\frac{A + B + C + D}{2} — O\). Это доказывает, что середины отрезков \(AH_1\), \(BH_2\), \(CH_3\) и \(DH_4\) лежат в одной точке.