ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.58 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность с центром \(O\). Докажите, что если \(OA + OB + OC + OD = 0\), то четырёхугольник \(ABCD\) прямоугольник.

Если \(OA + OB + OC + OD = 0\), где \(O\) — центр окружности, а \(A, B, C, D\) — точки на окружности, то векторы радиусов образуют параллелограмм с центром в начале координат. Значит, диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в центре окружности \(O\) и равны по длине. Это возможно только если \(ABCD\) — прямоугольник.

Пусть \(O\) — центр окружности, а \(A, B, C, D\) — точки на её окружности. Радиус-векторы этих точек обозначим как \(\vec{a} = OA\), \(\vec{b} = OB\), \(\vec{c} = OC\), \(\vec{d} = OD\). Все они имеют одинаковую длину, равную радиусу окружности \(R\), то есть \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R\). Условие задачи гласит, что сумма этих векторов равна нулю: \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}\). Это означает, что векторы расположены так, что их сумма уравновешивается, то есть они образуют замкнутый векторный многоугольник с началом и концом в точке \(O\).

Если рассмотреть эти векторы как комплексные числа или векторы на плоскости, то сумма равна нулю только в том случае, если их концы расположены симметрично относительно центра. В частности, для четырёх векторов одинаковой длины сумма равна нулю, если они образуют вершины параллелограмма с центром в начале координат. Это означает, что диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), которая является серединой обеих диагоналей. Векторно это можно записать как \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{0}\) и \(\vec{b} + \vec{d} = \vec{0}\), что эквивалентно тому, что середины диагоналей совпадают и равны \(O\).

Для четырёхугольника, вписанного в окружность, если диагонали пересекаются в центре окружности и при этом равны по длине, то этот четырёхугольник обязательно является прямоугольником. Это связано с тем, что в прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в середине, а центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей. Таким образом, условие \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}\) приводит к выводу, что \(ABCD\) — прямоугольник.