ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.59 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка пересечения отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырёхугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырёхугольник параллелограмм.

Пусть \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, DA\) соответственно. Тогда \(M = \frac{A+B}{2}\), \(P = \frac{C+D}{2}\), \(N = \frac{B+C}{2}\), \(Q = \frac{D+A}{2}\). Отрезки \(MP\) и \(NQ\) пересекаются в точке \(O\), совпадающей с точкой пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Тогда \(O = \frac{M+P}{2} = \frac{N+Q}{2}\).

Подставляя, получаем:

\(\frac{\frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2}}{2} = \frac{\frac{B+C}{2} + \frac{D+A}{2}}{2}\),

что упрощается до

\(\frac{A+B+C+D}{4} = \frac{A+B+C+D}{4}\),

а также точка \(O\) является серединой диагоналей, то есть

\(O = \frac{A+C}{2} = \frac{B+D}{2}\).

Из этого следует, что диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в серединах, что является признаком параллелограмма. Следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) с точками \(M, N, P, Q\), которые являются серединами сторон \(AB, BC, CD, DA\) соответственно. По определению координаты этих точек можно выразить через векторы вершин четырёхугольника: \(M = \frac{A + B}{2}\), \(N = \frac{B + C}{2}\), \(P = \frac{C + D}{2}\), \(Q = \frac{D + A}{2}\). Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, это \(MP\) и \(NQ\). Пусть точка пересечения этих отрезков совпадает с точкой пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\), обозначим эту точку пересечения как \(O\).

Точка \(O\), будучи серединой отрезков \(MP\) и \(NQ\), может быть записана как \(O = \frac{M + P}{2}\) и \(O = \frac{N + Q}{2}\). Подставляя выражения для \(M, N, P, Q\), получаем \(O = \frac{\frac{A + B}{2} + \frac{C + D}{2}}{2} = \frac{A + B + C + D}{4}\) и \(O = \frac{\frac{B + C}{2} + \frac{D + A}{2}}{2} = \frac{A + B + C + D}{4}\). Таким образом, точка пересечения отрезков \(MP\) и \(NQ\) совпадает с центром тяжести четырёхугольника, то есть с точкой, которая является средним арифметическим векторов всех четырёх вершин.

Теперь рассмотрим точку пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\), тогда \(O\) можно записать как \(O = A + t(C — A)\) и одновременно как \(O = B + s(D — B)\) для некоторых параметров \(t\) и \(s\). Если точка пересечения диагоналей совпадает с точкой \(O = \frac{A + B + C + D}{4}\), то это означает, что диагонали пересекаются именно в серединах, то есть \(t = s = \frac{1}{2}\). Это свойство характерно для параллелограмма, так как в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Следовательно, если точка пересечения отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырёхугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей, то диагонали пересекаются в серединах. Это возможно только в том случае, если четырёхугольник является параллелограммом. Таким образом, доказано, что при выполнении данного условия четырёхугольник \(ABCD\) обязательно является параллелограммом.