ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.60 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан четырёхугольник \(ABCD\), середины сторон \(AB\) и \(CD\) и точка пересечения диагоналей которого принадлежат одной прямой. Докажите, что \(AB | CD\).

Пусть \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\), тогда \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\), \(\vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}\). Точка пересечения диагоналей \(O\) выражается как \(\vec{O} = \vec{A} + \lambda(\vec{C} — \vec{A})\). Если \(M, N, O\) коллинеарны, то векторы \(\vec{M} — \vec{O}\) и \(\vec{N} — \vec{O}\) линейно зависимы, что приводит к параллельности \(\vec{B} — \vec{A}\) и \(\vec{D} — \vec{C}\), то есть \(AB \parallel CD\).

Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\). Тогда координаты этих точек можно записать как векторы: \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\) и \(\vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}\). Точка пересечения диагоналей \(O\) находится на отрезках \(AC\) и \(BD\), и её координаты выражаются через параметр \(\lambda\) так: \(\vec{O} = \vec{A} + \lambda(\vec{C} — \vec{A})\), где \(\lambda\) — число от 0 до 1. Аналогично, \(\vec{O} = \vec{B} + \mu(\vec{D} — \vec{B})\), но для доказательства достаточно рассмотреть первое выражение.

Из условия задачи известно, что точки \(M\), \(N\) и \(O\) лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. Коллинеарность означает, что векторы \(\vec{M} — \vec{O}\) и \(\vec{N} — \vec{O}\) пропорциональны, то есть существует число \(t\), для которого выполняется равенство \(\vec{M} — \vec{O} = t(\vec{N} — \vec{O})\). Подставляя выражения для \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\), получаем уравнение \(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} — \vec{O} = t \left(\frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} — \vec{O}\right)\). Раскрывая скобки и группируя члены с \(\vec{O}\), можно выразить \(\vec{O}\) через остальные вершины и параметр \(t\).

Преобразования показывают, что вектор \(\vec{O}\) является линейной комбинацией векторов \(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}\) с коэффициентами, связанными с параметрами \(\lambda\) и \(t\). Приравнивая выражения для \(\vec{O}\) из условия пересечения диагоналей и из условия коллинеарности, получаем систему уравнений, из которой следует, что векторы \(\vec{B} — \vec{A}\) и \(\vec{D} — \vec{C}\) параллельны. Это означает, что стороны \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника параллельны, то есть \(AB \parallel CD\).