ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.61 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В пятиугольнике \(ABCDE\) точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DE\) соответственно. Точки \(K\) и \(F\) середины отрезков \(MP\) и \(NQ\) соответственно. Докажите, что \(KF | AE\) и \(KF = \frac{1}{4}AE\).
Векторы точек: \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \), \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \), \( \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \), \( \vec{Q} = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2} \). Тогда \( \vec{K} = \frac{\vec{M} + \vec{P}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} \), \( \vec{F} = \frac{\vec{N} + \vec{Q}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}}{4} \). Разность \( \vec{KF} = \vec{F} — \vec{K} = \frac{\vec{E} — \vec{A}}{4} \), значит \( KF \parallel AE \) и \( KF = \frac{1}{4} AE \).
Рассмотрим пятиугольник \(ABCDE\) и точки \(M, N, P, Q\), которые являются серединами сторон \(AB, BC, CD, DE\) соответственно. Чтобы выразить координаты этих точек через векторы вершин, используем формулу для середины отрезка: середина между точками с векторами \(\vec{X}\) и \(\vec{Y}\) равна \(\frac{\vec{X} + \vec{Y}}{2}\). Следовательно, имеем \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \), \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \), \( \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \), \( \vec{Q} = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2} \). Это позволяет нам описать положение точек \(M, N, P, Q\) в терминах исходных вершин пятиугольника.
Далее, точки \(K\) и \(F\) — середины отрезков \(MP\) и \(NQ\) соответственно. Аналогично, координаты этих точек можно найти как среднее арифметическое координат концов соответствующих отрезков: \( \vec{K} = \frac{\vec{M} + \vec{P}}{2} \), \( \vec{F} = \frac{\vec{N} + \vec{Q}}{2} \). Подставляя значения \(\vec{M}\), \(\vec{N}\), \(\vec{P}\), \(\vec{Q}\), получаем \( \vec{K} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} \) и \( \vec{F} = \frac{\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}}{4} \). Таким образом, точки \(K\) и \(F\) выражены через сумму векторов четырёх вершин пятиугольника с коэффициентом \(\frac{1}{4}\).
Теперь рассмотрим вектор \( \vec{KF} = \vec{F} — \vec{K} \). Подставляя выражения для \(\vec{F}\) и \(\vec{K}\), получаем \( \vec{KF} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}}{4} — \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} = \frac{\vec{E} — \vec{A}}{4} \). Этот результат показывает, что вектор \(KF\) направлен точно так же, как вектор \(AE\), но в четыре раза короче. Следовательно, отрезок \(KF\) параллелен \(AE\) и равен \(\frac{1}{4}\) длины отрезка \(AE\), то есть \(KF \parallel AE\) и \(KF = \frac{1}{4} AE\).
