ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.62 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(K\) середина отрезка \(MN\). Медианы треугольника \(BCD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.

Точки \(A\), \(K\) и \(P\) коллинеарны, так как

\(\vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4}\),

\(\vec{P} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{3}\),

\(\vec{K} — \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} — 3\vec{A}}{4} = \frac{3}{4} \left(\frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} — 3\vec{A}}{3}\right) = \frac{3}{4} (\vec{P} — \vec{A})\),

значит векторы \(\vec{K} — \vec{A}\) и \(\vec{P} — \vec{A}\) коллинеарны, и точки лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) и точки \(M\) и \(N\), которые являются серединами сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. По определению середины, векторные координаты этих точек можно записать как \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \) и \( \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \). Точка \(K\) — середина отрезка \(MN\), следовательно, её координаты равны \( \vec{K} = \frac{\vec{M} + \vec{N}}{2} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} \). Таким образом, \(K\) является усреднённой точкой всех четырёх вершин четырёхугольника.

Далее рассмотрим треугольник \(BCD\). Точка пересечения медиан \(P\) — это точка, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Координаты точки \(P\) можно выразить как центр масс трёх точек \(B, C, D\), то есть \( \vec{P} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{3} \). Это классическое свойство медиан треугольника, где точка пересечения медиан находится в одной трети расстояния от каждой вершины к противоположной стороне.

Теперь проверим коллинеарность точек \(A, K\) и \(P\). Для этого рассмотрим векторы \( \vec{K} — \vec{A} \) и \( \vec{P} — \vec{A} \). Подставим выражения: \( \vec{K} — \vec{A} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} — \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} — 3\vec{A}}{4} \) и \( \vec{P} — \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{3} — \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} — 3\vec{A}}{3} \). Видно, что \( \vec{K} — \vec{A} = \frac{3}{4} (\vec{P} — \vec{A}) \), то есть один вектор является скалярным множителем другого. Это означает, что точки \(A, K\) и \(P\) лежат на одной прямой, так как векторы, исходящие из одной точки, коллинеарны.

Таким образом, мы доказали, что точка \(K\), являющаяся серединой отрезка между серединами сторон \(AB\) и \(CD\), и точка \(P\), центр масс треугольника \(BCD\), лежат на одной прямой вместе с точкой \(A\). Это геометрическое свойство связано с тем, что \(K\) — усреднённая точка всех четырёх вершин, а \(P\) — усреднённая точка трёх из них, и их взаимное расположение задаёт коллинеарность с вершиной \(A\).