ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.63 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Из точки \(P\), принадлежащей стороне \(AC\) равностороннего треугольника \(ABC\), на стороны \(AB\) и \(BC\) опущены перпендикуляры \(PE\) и \(PF\) соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), середина отрезка \(EF\) и точка \(P\) лежат на одной прямой.
Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник с \(A=(0,0)\), \(C=(a,0)\), \(B=(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a)\), \(P=(t,0)\). Тогда
\(E = \left(\frac{t}{4}, \frac{\sqrt{3}t}{4}\right)\), \(F = \left(\frac{3a+t}{4}, \frac{\sqrt{3}(a-t)}{4}\right)\),
середина \(M\) отрезка \(EF\) равна
\(M = \left(\frac{2t+3a}{8}, \frac{\sqrt{3}a}{8}\right)\),
центр масс \(G\) треугольника
\(G = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}\right)\).
Векторы \(\overrightarrow{PM}\) и \(\overrightarrow{PG}\) коллинеарны, так как существует \(\lambda = \frac{3}{4}\), при котором
\(\overrightarrow{PM} = \lambda \overrightarrow{PG}\),
значит \(P\), \(M\), \(G\) лежат на одной прямой.
Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) с длиной стороны \(a\). Для удобства выберем систему координат так, чтобы вершина \(A\) была в начале координат, \(C\) лежала на оси \(x\), а вершина \(B\) располагалась в верхней полуплоскости. Тогда точки будут иметь координаты: \(A = (0,0)\), \(C = (a,0)\), \(B = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\). Точка \(P\), лежащая на стороне \(AC\), будет иметь координаты \(P = (t,0)\), где \(t\) — параметр, меняющийся от 0 до \(a\).
Теперь найдем координаты точек \(E\) и \(F\), которые являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки \(P\) на стороны \(AB\) и \(BC\) соответственно. Уравнение прямой \(AB\) можно записать как \(y = \sqrt{3} x\), так как наклон равен \(\sqrt{3}\). Перпендикуляр к этой прямой будет иметь наклон \(-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\). Уравнение перпендикуляра из точки \(P\) на \(AB\) будет \(y = -\frac{\sqrt{3}}{3} (x — t)\). Приравнивая это уравнение к уравнению прямой \(AB\), находим точку пересечения \(E\), которая имеет координаты \(E = \left(\frac{t}{4}, \frac{\sqrt{3} t}{4}\right)\).
Аналогично уравнение прямой \(BC\) имеет вид \(y = -\sqrt{3} x + \sqrt{3} a\). Перпендикуляр к \(BC\) будет иметь наклон \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Уравнение перпендикуляра из точки \(P\) на \(BC\) записывается как \(y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x — t)\). Приравнивая это уравнение к уравнению \(BC\), находим точку пересечения \(F = \left(\frac{3 a + t}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4} (a — t)\right)\).
Середина отрезка \(EF\) — точка \(M\) — вычисляется как среднее арифметическое координат \(E\) и \(F\): \(M = \left(\frac{\frac{t}{4} + \frac{3 a + t}{4}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3} t}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (a — t)}{2}\right)\), что упрощается до \(M = \left(\frac{2 t + 3 a}{8}, \frac{\sqrt{3} a}{8}\right)\). Центр масс треугольника \(G\), который является точкой пересечения медиан, находится как среднее арифметическое координат вершин: \(G = \left(\frac{0 + \frac{a}{2} + a}{3}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2} a + 0}{3}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{6}\right)\).
Для доказательства коллинеарности точек \(P\), \(M\) и \(G\) рассмотрим векторы \(\overrightarrow{PM} = \left(\frac{2 t + 3 a}{8} — t, \frac{\sqrt{3} a}{8} — 0\right) = \left(\frac{3 a — 6 t}{8}, \frac{\sqrt{3} a}{8}\right)\) и \(\overrightarrow{PG} = \left(\frac{a}{2} — t, \frac{\sqrt{3} a}{6} — 0\right) = \left(\frac{a}{2} — t, \frac{\sqrt{3} a}{6}\right)\). Проверим, существует ли число \(\lambda\), такое что \(\overrightarrow{PM} = \lambda \overrightarrow{PG}\). Из второго компонента получаем \(\lambda = \frac{\frac{\sqrt{3} a}{8}}{\frac{\sqrt{3} a}{6}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). Подставляя в первую компоненту, имеем \(\frac{3 a — 6 t}{8} = \frac{3}{4} \left(\frac{a}{2} — t\right) = \frac{3 (a — 2 t)}{8}\), что равенство выполняется. Значит, все три точки лежат на одной прямой.
