ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.64 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Даны треугольник \(ABC\) и произвольная точка \(O\). Точки \(P\), \(Q\) и \(R\) соответственно точки пересечения медиан треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COA\). Докажите, что точка \(O\) и точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(PQR\) лежат на одной прямой.
Пусть \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{O} \) — векторы точек \( A, B, C, O \). Центроид треугольника \( ABC \) равен \( \vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \). Точки \( P, Q, R \) — центроиды треугольников \( AOB, BOC, COA \), значит \( \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{O} + \vec{B}}{3} \), \( \vec{Q} = \frac{\vec{B} + \vec{O} + \vec{C}}{3} \), \( \vec{R} = \frac{\vec{C} + \vec{O} + \vec{A}}{3} \). Центроид треугольника \( PQR \) равен \( \vec{G_1} = \frac{\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}}{3} = \frac{2(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) + 3\vec{O}}{9} \). Тогда \( \vec{G_1} — \vec{O} = \frac{2}{3}(\vec{G} — \vec{O}) \), следовательно точки \( O, G, G_1 \) коллинеарны.
Рассмотрим треугольник \( ABC \) с вершинами, заданными векторными координатами \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \), и произвольную точку \( O \) с вектором \( \vec{O} \). Центроид треугольника \( ABC \) — это точка пересечения медиан, которая равна среднему арифметическому векторов вершин, то есть \( \vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \). Центроид обладает свойством, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Теперь рассмотрим треугольники \( AOB, BOC, COA \), в которых точка \( O \) выступает в роли одной из вершин. В каждом из этих треугольников найдём центроиды — это точки пересечения их медиан, обозначим их как \( P, Q, R \) соответственно.
Для треугольника \( AOB \) центроид \( P \) вычисляется как среднее арифметическое векторов его вершин: \( \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{O} + \vec{B}}{3} \). Аналогично для треугольника \( BOC \) центроид \( Q = \frac{\vec{B} + \vec{O} + \vec{C}}{3} \), а для \( COA \) центроид \( R = \frac{\vec{C} + \vec{O} + \vec{A}}{3} \). Эти точки образуют новый треугольник \( PQR \), и мы можем найти его центроид \( G_1 \), который равен среднему арифметическому векторов \( \vec{P}, \vec{Q}, \vec{R} \). Подставляя значения, получаем \( \vec{G_1} = \frac{\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}}{3} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{O} + \vec{B}}{3} + \frac{\vec{B} + \vec{O} + \vec{C}}{3} + \frac{\vec{C} + \vec{O} + \vec{A}}{3}}{3} \).
Сложим числители внутри скобок: \( (\vec{A} + \vec{O} + \vec{B}) + (\vec{B} + \vec{O} + \vec{C}) + (\vec{C} + \vec{O} + \vec{A}) = 2(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) + 3\vec{O} \). Следовательно, \( \vec{G_1} = \frac{2(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) + 3\vec{O}}{9} \). Теперь рассмотрим векторы от точки \( O \) к центроидам \( G \) и \( G_1 \): \( \vec{G} — \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} — \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} — 3\vec{O}}{3} \) и \( \vec{G_1} — \vec{O} = \frac{2(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) + 3\vec{O}}{9} — \vec{O} = \frac{2(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) — 6\vec{O}}{9} \).
Видно, что \( \vec{G_1} — \vec{O} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} — 3\vec{O}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{G} — \vec{O}) \). Это означает, что векторы \( \vec{G} — \vec{O} \) и \( \vec{G_1} — \vec{O} \) коллинеарны, то есть лежат на одной прямой. Следовательно, точки \( O, G, G_1 \) коллинеарны, что и требовалось доказать.
