ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.65 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Параллельные прямые, проходящие через вершины \(A\), \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\), пересекают его описанную окружность в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Докажите, что ортоцентры \(H_1\), \(H_2\) и \(H\), соответственно треугольников \(ABC_1\), \(BCA\), и \(CAB_1\) лежат на одной прямой.

Через вершины \(A, B, C\) проведены параллельные прямые, пересекающие описанную окружность в точках \(A_1, B_1, C_1\). Ортоцентры треугольников \(ABC_1\), \(BCA_1\), \(CAB_1\) имеют координаты:

\( \vec{H_1} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C_1} — 2\vec{O} \),
\( \vec{H_2} = \vec{B} + \vec{C} + \vec{A_1} — 2\vec{O} \),
\( \vec{H} = \vec{C} + \vec{A} + \vec{B_1} — 2\vec{O} \),

где \(\vec{O}\) — центр окружности. Поскольку \(A_1, B_1, C_1\) получены сдвигом вдоль одного направления \(\vec{d}\), то

\( \vec{A_1} = \vec{A} + \lambda \vec{d} \),
\( \vec{B_1} = \vec{B} + \lambda \vec{d} \),
\( \vec{C_1} = \vec{C} + \lambda \vec{d} \).

Подставляя, получаем, что \(H_1, H_2, H\) лежат на прямой, параллельной \(\vec{d}\), значит они коллинеарны.

Пусть дан треугольник \(ABC\) с описанной окружностью с центром в точке \(O\). Через каждую вершину \(A, B, C\) проведены параллельные прямые, которые пересекают описанную окружность во второй точке, обозначенной как \(A_1, B_1, C_1\) соответственно. Поскольку эти три прямые параллельны, существует вектор направления \(\vec{d}\), такой что для каждой вершины имеем \( \vec{A_1} = \vec{A} + \lambda \vec{d} \), \( \vec{B_1} = \vec{B} + \lambda \vec{d} \), \( \vec{C_1} = \vec{C} + \lambda \vec{d} \), где \(\lambda\) — некоторое скалярное значение, зависящее от положения точек на окружности.

Рассмотрим ортоцентры треугольников \(ABC_1\), \(BCA_1\), \(CAB_1\). Ортоцентр треугольника с вершинами \(X, Y, Z\) можно выразить через координаты вершин и центр описанной окружности как \( \vec{H} = \vec{X} + \vec{Y} + \vec{Z} — 2 \vec{O} \). Тогда для данных треугольников имеем: \( \vec{H_1} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C_1} — 2 \vec{O} \), \( \vec{H_2} = \vec{B} + \vec{C} + \vec{A_1} — 2 \vec{O} \), \( \vec{H} = \vec{C} + \vec{A} + \vec{B_1} — 2 \vec{O} \).

Подставляя выражения для \( \vec{A_1}, \vec{B_1}, \vec{C_1} \), получаем:
\( \vec{H_1} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \lambda \vec{d} — 2 \vec{O} \),
\( \vec{H_2} = \vec{B} + \vec{C} + \vec{A} + \lambda \vec{d} — 2 \vec{O} \),
\( \vec{H} = \vec{C} + \vec{A} + \vec{B} + \lambda \vec{d} — 2 \vec{O} \).

Все три ортоцентра отличаются друг от друга только перестановкой вершин и одинаковым векторным сдвигом \( \lambda \vec{d} \). Следовательно, разность между любыми двумя ортоцентрами лежит вдоль вектора \(\vec{d}\), то есть точки \(H_1, H_2, H\) коллинеарны и лежат на одной прямой, параллельной направлению \(\vec{d}\).