ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Постройте угол, величина которого равна углу между векторами \(a\) и \(b\) (рис. 17.10).
Угол между векторами \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле
\(\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\).
Где \(a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2\), а длины векторов \( |a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \), \( |b| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \).
Угол \(\theta = \arccos \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\).
Постройте угол \(\theta\) с помощью транспортира от вектора \(a\) к вектору \(b\).
Угол между двумя векторами \(a\) и \(b\) определяется через их скалярное произведение и длины. Скалярное произведение векторов \(a = (x_1, y_1)\) и \(b = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле \(a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2\). Это произведение показывает, насколько векторы направлены в одну сторону. Если скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, если равно нулю — векторы перпендикулярны, если отрицательно — угол тупой.
Длины векторов \(a\) и \(b\) находятся как квадратные корни из суммы квадратов их координат: \(|a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) и \(|b| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\). Эти длины показывают, насколько длинны сами векторы. Чтобы найти угол \(\theta\) между векторами, используется формула \(\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\). Здесь числитель — скалярное произведение, а знаменатель — произведение длин векторов. Это отношение всегда находится в диапазоне от -1 до 1, что позволяет найти угол с помощью обратной функции косинуса.
После вычисления \(\cos \theta\) угол определяется как \(\theta = \arccos \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\). Этот угол \(\theta\) и есть угол между векторами \(a\) и \(b\). Для построения этого угла на плоскости нужно отложить его от вектора \(a\) в сторону вектора \(b\) с помощью транспортира или циркуля. Таким образом, угол между двумя векторами — это величина, которая показывает, насколько они отклонены друг от друга в пространстве.