ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90°\), \(\angle A = 30°\), \(CB = 2\) см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(AC\) и \(BC\); 2) \(AC\) и \(AB\); 3) \(CB\) и \(BA\).

В треугольнике с углами 30°, 60°, 90° и катетом \(CB=2\), стороны равны: \(AC=2\sqrt{3}\), \(AB=4\).

1) \( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = |AC||BC|\cos 90^\circ = 2\sqrt{3} \times 2 \times 0 = 0 \)

2) \( \vec{AC} \cdot \vec{AB} = |AC||AB|\cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \)

3) Угол между \( \vec{CB} \) и \( \vec{BA} \) равен 150°, тогда

\( \vec{CB} \cdot \vec{BA} = |CB||BA|\cos 150^\circ = 2 \times 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3} \)

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с прямым углом при вершине \( C \), угол \( A \) равен 30 градусам, а катет \( CB \) равен 2 см. По свойствам треугольника с углами 30°, 60°, 90° стороны находятся в отношении 1 : \( \sqrt{3} \) : 2. Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит гипотенуза \( AB \) равна \( 2 \times 2 = 4 \) см. Другой катет \( AC \), лежащий напротив угла 60°, равен \( AB \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) определяется формулой \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между векторами. Рассмотрим каждый случай. Векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \) перпендикулярны, так как угол при \( C \) прямой, значит угол между векторами 90°. Косинус 90° равен 0, поэтому \( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2\sqrt{3} \times 2 \times 0 = 0 \).

Для второго произведения угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{AB} \) равен углу \( A = 30^\circ \). Подставляя значения, получаем \( \vec{AC} \cdot \vec{AB} = 2\sqrt{3} \times 4 \times \cos 30^\circ = 8\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \). Таким образом, скалярное произведение равно 12.

Для третьего произведения нужно учитывать направление векторов. Вектор \( \vec{CB} \) направлен от \( C \) к \( B \), а вектор \( \vec{BA} \) — от \( B \) к \( A \). Угол между \( \vec{CB} \) и \( \vec{BA} \) равен 150°, так как угол при \( B \) равен 60°, а направление векторов противоположно. Косинус 150° равен \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда \( \vec{CB} \cdot \vec{BA} = 2 \times 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3} \).