ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами \(a (1; 2)\) и \(b (2; 3)\).

Косинус угла между векторами \(a(1; 2)\) и \(b(2; 3)\) равен \(\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}} \approx 0.993\).

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами \(a(1; 2)\) и \(b(2; 3)\) используется формула косинуса угла через скалярное произведение и длины векторов: \(\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\). Здесь \(a \cdot b\) — скалярное произведение векторов, которое вычисляется как сумма произведений соответствующих компонентов: \(a \cdot b = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3\). Таким образом, скалярное произведение равно \(8\).

Далее нужно найти длины векторов \(a\) и \(b\), которые определяются через квадратные корни из суммы квадратов их компонент. Для вектора \(a\) длина равна \(|a| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\). Для вектора \(b\) длина равна \(|b| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). Эти длины представляют собой нормы векторов, то есть их абсолютные значения в пространстве.

Подставляя найденные значения в формулу косинуса, получаем \(\cos \theta = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}}\). Значение \(\sqrt{65}\) примерно равно \(8.062\), поэтому \(\cos \theta \approx \frac{8}{8.062} \approx 0.993\). Это число близко к единице, что указывает на очень маленький угол между векторами, то есть они почти направлены в одну сторону.