ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Какой знак имеет скалярное произведение векторов, если угол \(\angle\) между ними: 1) острый; 2) тупой?
Если угол острый, то \(\cos \angle > 0\), значит скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0 \).
Если угол тупой, то \(\cos \angle < 0\), значит скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \).
| Угол | Знак скалярного произведения |
|---|---|
| Острый | Положительный |
| Тупой | Отрицательный |
Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется формулой \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \angle \), где \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов, а \( \angle \) — угол между ними. Значение косинуса угла определяет знак результата. Если угол острый, то \( \cos \angle \) положителен, так как косинус угла в диапазоне от 0 до 90 градусов принимает положительные значения. Это означает, что произведение длин векторов и положительного косинуса даст положительное число.
Если угол между векторами тупой, то есть находится в интервале от 90 до 180 градусов, косинус угла будет отрицательным числом. Это связано с тем, что косинус углов больше 90 градусов и меньше 180 градусов принимает отрицательные значения. Следовательно, произведение длин векторов на отрицательный косинус даст отрицательное скалярное произведение. Таким образом, знак скалярного произведения напрямую зависит от величины угла между векторами.
Для наглядности можно представить это в виде таблицы:
| Угол \( \angle \) | Знак \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) | Причина |
|---|---|---|
| Острый \( 0^\circ < \angle < 90^\circ \) | Положительный | \( \cos \angle > 0 \) |
| Прямой \( \angle = 90^\circ \) | Равен нулю | \( \cos 90^\circ = 0 \) |
| Тупой \( 90^\circ < \angle < 180^\circ \) | Отрицательный | \( \cos \angle < 0 \) |
