ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что скалярное произведение векторов является: 1) положительным числом; 2) отрицательным числом. Определите вид угла между векторами.

Если скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0 \), то угол между векторами острый, так как \( \cos \theta > 0 \).

Если скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \), то угол между векторами тупой, так как \( \cos \theta < 0 \).

Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется формулой \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между этими векторами. Длина (модуль) вектора всегда положительна, то есть \( |\mathbf{a}| > 0 \) и \( |\mathbf{b}| > 0 \). Следовательно, знак скалярного произведения зависит только от знака косинуса угла \( \theta \). Если скалярное произведение положительно, это означает, что косинус угла положителен, а если отрицательно — косинус отрицателен.

Когда скалярное произведение положительно, то есть \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0 \), это означает, что \( \cos \theta > 0 \). Косинус положителен для углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов, то есть \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \). Такой угол называется острым. Это значит, что векторы направлены примерно в одну сторону, и угол между ними меньше прямого. В этом случае векторы имеют тенденцию «сходиться» или быть близкими по направлению.

Если же скалярное произведение отрицательно, то есть \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \), тогда \( \cos \theta < 0 \). Косинус отрицателен для углов в интервале от 90 до 180 градусов, то есть \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \). Такой угол называется тупым. Это означает, что векторы направлены более противоположно друг другу, угол между ними больше прямого. Векторы «расходятся» или направлены в разные стороны. Таким образом, знак скалярного произведения напрямую указывает на тип угла между векторами.