ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) угол между векторами \(a (2; 5)\) и \(b (x; 4)\): 1) острый; 2) тупой?

Угол острый, если \(a \cdot b = 2x + 20 > 0\), значит \(x > -10\).
Угол тупой, если \(2x + 20 < 0\), значит \(x < -10\).

Для определения угла между двумя векторами \(a\) и \(b\) используется скалярное произведение, которое вычисляется по формуле \(a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2\). В данном случае векторы имеют координаты \(a (2; 5)\) и \(b (x; 4)\), значит их скалярное произведение равно \(2 \cdot x + 5 \cdot 4 = 2x + 20\). Скалярное произведение связано с углом между векторами через формулу \(a \cdot b = |a| |b| \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между ними, а \(|a|\) и \(|b|\) — длины векторов. Длины векторов вычисляются по формуле \(|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\) и \(|b| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}\). Для вектора \(a\) длина равна \(\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\), для вектора \(b\) длина равна \(\sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}\).

Угол между векторами острый, если косинус угла положителен, то есть \(\cos \theta > 0\). Из формулы скалярного произведения это означает, что \(a \cdot b > 0\), то есть \(2x + 20 > 0\). Решая неравенство, получаем \(2x > -20\), откуда \(x > -10\). Следовательно, при значениях \(x\), больших чем \(-10\), угол между векторами будет острым. Это происходит потому, что положительное скалярное произведение указывает на то, что векторы направлены в основном в одну сторону, и угол между ними меньше \(90^\circ\).

Если же угол между векторами тупой, то \(\cos \theta < 0\), что соответствует отрицательному скалярному произведению: \(2x + 20 < 0\). Решая это неравенство, получаем \(2x < -20\), откуда \(x < -10\). Это означает, что при значениях \(x\), меньших чем \(-10\), угол между векторами будет больше \(90^\circ\). Тупой угол возникает, когда векторы направлены в основном в противоположные стороны, что и отражается отрицательным значением скалярного произведения.