ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты вектора \(b\), коллинеарного вектору \(a (3;- 4)\), если \(a b = -100\).

Пусть \(b = k \cdot a = (3k; -4k)\). Тогда \(a \cdot b = 3 \cdot 3k + (-4) \cdot (-4k) = 9k + 16k = 25k\). По условию \(25k = -100\), откуда \(k = \frac{-100}{25} = -4\). Следовательно, \(b = (-12; 16)\).

Вектор \(b\) коллинеарен вектору \(a\), значит существует число \(k\), такое что \(b = k \cdot a\). Это означает, что координаты вектора \(b\) пропорциональны координатам вектора \(a\), то есть если \(a = (3; -4)\), то \(b = (3k; -4k)\). Коллинеарность гарантирует, что направление вектора \(b\) совпадает или противоположно направлению вектора \(a\), в зависимости от знака числа \(k\).

Для нахождения \(k\) используем условие на скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\). Скалярное произведение определяется как сумма произведений соответствующих координат: \(a \cdot b = 3 \cdot 3k + (-4) \cdot (-4k)\). Расписывая это, получаем \(9k + 16k = 25k\). По условию задачи скалярное произведение равно \(-100\), значит уравнение принимает вид \(25k = -100\).

Решая уравнение относительно \(k\), получаем \(k = \frac{-100}{25} = -4\). Подставляя найденное значение \(k\) обратно в выражение для \(b\), получаем \(b = (3 \cdot (-4); -4 \cdot (-4)) = (-12; 16)\). Таким образом, координаты вектора \(b\), коллинеарного \(a\) и удовлетворяющего условию скалярного произведения, равны \((-12; 16)\).