ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равностороннем треугольнике \(ABC\), сторона которого равна 1, медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(M\). Вычислите: 1) \(AA_1 \cdot BB_1\); 2) \(BM \cdot MA\).

1) \( \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} \)

2) \( \overrightarrow{BC_1} \cdot \overrightarrow{AA_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \)

В равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной равной 1 медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(M\). Медиана в равностороннем треугольнике равна длине, которую можно найти по формуле для медианы: она равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), так как медиана делит сторону пополам и образует прямоугольный треугольник с половиной стороны и высотой.

Первая задача — вычислить скалярное произведение векторов \(AA_1\) и \(BB_1\). Для этого нужно найти длины этих векторов и угол между ними. Медиана \(AA_1\) равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), аналогично медиана \(BB_1\) также равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Угол между медианами в равностороннем треугольнике равен \(120^\circ\), так как медианы образуют равные углы при пересечении. Скалярное произведение вычисляется по формуле \(AA_1 \cdot BB_1 = |AA_1| \cdot |BB_1| \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя значения, получаем:

\(AA_1 \cdot BB_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 120^\circ = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}\).

Вторая задача — вычислить скалярное произведение векторов \(BM\) и \(MA\), где \(M\) — точка пересечения медиан, то есть центр тяжести треугольника. Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, длина отрезка \(BM\) равна \(\frac{2}{3}\) длины медианы \(BB_1\), а длина отрезка \(MA\) равна \(\frac{1}{3}\) длины медианы \(AA_1\). Подставляя значения, получаем:

\(|BM| = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\),

\(|MA| = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}\).

Угол между векторами \(BM\) и \(MA\) равен \(60^\circ\), так как они расположены внутри равностороннего треугольника. Тогда скалярное произведение равно:

\(BM \cdot MA = |BM| \cdot |MA| \cdot \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{18} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\).

Таким образом, ответы:

1) \(AA_1 \cdot BB_1 = -\frac{3}{8}\),

2) \(BM \cdot MA = \frac{1}{12}\).