ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка \(O\) центр правильного шестиугольника \(ABCDEF\), сторона которого равна 1. Вычислите: 1) \(BA + CD\); 2) \(AD \cdot CD\); 3) \(AO ED\); 4) \(AC CD\).

\(BA + CD = 1\) — сумма равна длине стороны, так как векторы параллельны и одинаковы по модулю.
\(AD \cdot CD = 1\) — скалярное произведение равно квадрату стороны, так как угол между ними 0 градусов.
\(AO \cdot ED = \frac{1}{2}\) — длина радиуса равна 1, угол между векторами 60°, значит скалярное произведение равно \(1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
\(AC \cdot CD = 0\) — векторы перпендикулярны, скалярное произведение равно 0.

Правильный шестиугольник со стороной 1 можно представить как фигуру, вписанную в окружность радиуса 1. Центр \(O\) шестиугольника совпадает с центром этой окружности. Вершины шестиугольника расположены на окружности под углами, кратными 60°, что позволяет удобно использовать векторные представления для вычислений.

Для выражения \(BA + CD\) рассматриваем векторы \(BA = A — B\) и \(CD = D — C\). Поскольку стороны равны и параллельны, эти векторы направлены в противоположные стороны, но имеют одинаковую длину 1. Их сумма равна длине стороны, то есть \(BA + CD = 1\).

Для скалярного произведения \(AD \cdot CD\) векторы \(AD = D — A\) и \(CD = D — C\) направлены так, что угол между ними равен 0°, поскольку \(AD\) и \(CD\) лежат на одной прямой или параллельны. Значит, \(AD \cdot CD = |AD| \cdot |CD| \cdot \cos 0^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\).

Вычисление \(AO \cdot ED\) основано на том, что \(AO = O — A\) — радиус окружности, равный 1, а \(ED = D — E\) — сторона шестиугольника длиной 1. Угол между векторами \(AO\) и \(ED\) равен 60°, следовательно, \(AO \cdot ED = |AO| \cdot |ED| \cdot \cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Для \(AC \cdot CD\) векторы \(AC = C — A\) и \(CD = D — C\) перпендикулярны, так как \(AC\) направлен под углом 120° относительно \(CD\), и \(\cos 90^\circ = 0\). Следовательно, \(AC \cdot CD = 0\).