ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\). Докажите, что векторы \(\vec{a}(-x; y)\) и \(\vec{b}(y; x)\) перпендикулярны.

Векторы \(\vec{a}(-x; y)\) и \(\vec{b}(y; x)\) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-x) \cdot y + y \cdot x = -xy + yx = 0\). Следовательно, векторы перпендикулярны при любых \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\).

Для доказательства перпендикулярности векторов \(\vec{a}(-x; y)\) и \(\vec{b}(y; x)\) необходимо проверить условие равенства нулю их скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}(a_1; a_2)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2)\) вычисляется по формуле \(a_1 b_1 + a_2 b_2\). В нашем случае это будет \((-x) \cdot y + y \cdot x\). Подставляя значения, получаем выражение \(-xy + yx\).

Далее важно заметить, что произведение чисел \(xy\) и \(yx\) одинаково, так как умножение коммутативно, то есть \(xy = yx\). Следовательно, выражение \(-xy + yx\) равно \(-xy + xy\), что упрощается до нуля. Таким образом, скалярное произведение векторов равно нулю, что является необходимым и достаточным условием для перпендикулярности векторов.

Условие \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\) гарантирует, что векторы не являются нулевыми, поскольку нулевой вектор не имеет направления и перпендикулярность для него не определена. Таким образом, при любых ненулевых значениях \(x\) и \(y\) векторы \(\vec{a}(-x; y)\) и \(\vec{b}(y; x)\) обязательно перпендикулярны, что и требовалось доказать.