ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны и \(|\vec{a}| = |\vec{b}| \neq 0\). При каких значениях \(x\) векторы \(\vec{a} + x\vec{b}\) и \(\vec{a} x\vec{b}\) перпендикулярны?

Векторы \( \vec{a} + x\vec{b} \) и \( \vec{a} \times \vec{b} \) перпендикулярны для любых \( x \), так как \( (\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \) всегда. Ответ: \( x \in \mathbb{R} \).

Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) неколлинеарны, что означает, что они не лежат на одной прямой и их векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \) не равно нулю. При этом известно, что длины этих векторов равны: \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \neq 0 \). Рассмотрим вектор \( \vec{a} + x\vec{b} \) и проверим условие перпендикулярности к вектору \( \vec{a} \times \vec{b} \). Перпендикулярность двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю, то есть \( (\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \).

Раскроем скалярное произведение по линейности: \( \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + x \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \). Известно, что скалярное произведение вектора с векторным произведением, в котором он участвует, равно нулю, так как векторное произведение перпендикулярно обоим исходным векторам. Следовательно, \( \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \) и \( \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \). Тогда уравнение принимает вид \( 0 + x \cdot 0 = 0 \), что верно при любом значении \( x \).

Таким образом, вектор \( \vec{a} + x\vec{b} \) всегда перпендикулярен вектору \( \vec{a} \times \vec{b} \) для любого \( x \in \mathbb{R} \). Это связано с тем, что \( \vec{a} \times \vec{b} \) лежит в направлении, перпендикулярном плоскости, образованной векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), а \( \vec{a} + x\vec{b} \) всегда лежит в этой плоскости, независимо от \( x \). Поэтому скалярное произведение между ними всегда равно нулю, и перпендикулярность сохраняется для всех значений \( x \).