ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} \vec{b}\) перпендикулярны. Докажите, что \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).

По условию перпендикулярности векторов \((\vec{a} + \vec{b})\) и \((\vec{a} — \vec{b})\) их скалярное произведение равно нулю: \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = 0\). Раскрыв скалярное произведение, получаем \( |\vec{a}|^2 — |\vec{b}|^2 = 0\), откуда следует \( |\vec{a}| = |\vec{b}|\).

Если векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) перпендикулярны, это означает, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений соответствующих компонент, а также имеет важное свойство: оно равно нулю, если векторы перпендикулярны. Поэтому мы можем записать равенство \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = 0\).

Раскроем скалярное произведение, используя дистрибутивность: \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{b}\). Поскольку скалярное произведение коммутативно, то \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), и эти два слагаемых взаимно сократятся: \(- \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0\). Таким образом, уравнение упрощается до \( |\vec{a}|^{2} — |\vec{b}|^{2} = 0\), где \( |\vec{a}|^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}\) и \( |\vec{b}|^{2} = \vec{b} \cdot \vec{b}\).

Из уравнения \( |\vec{a}|^{2} — |\vec{b}|^{2} = 0\) следует, что \( |\vec{a}|^{2} = |\vec{b}|^{2}\). Поскольку длина вектора — это неотрицательное число, то равенство квадратов модулей векторов означает равенство их модулей: \( |\vec{a}| = |\vec{b}|\). Это и требовалось доказать.