ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\). Найдите скалярное произведение \((\vec{2a} \vec{b}) \cdot \vec{b}\).

Найдем скалярное произведение: \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{b} = 2\vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{b} \).

Вычислим: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 45^\circ = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \),

и \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2 \).

Тогда \( 2 \cdot 3 — 2 = 6 — 2 = 4 \).

Ответ: 4.

Для нахождения скалярного произведения \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{b} \) сначала используем линейность скалярного произведения. Это означает, что скалярное произведение суммы векторов с другим вектором равно сумме скалярных произведений каждого из слагаемых с этим вектором. Следовательно, можно записать: \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{b} = 2\vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{b} \). Здесь важно помнить, что коэффициенты (в данном случае 2 и -1) выносятся перед скалярным произведением.

Далее вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). По определению скалярного произведения, оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \), где \( \theta = 45^\circ \). Подставим известные значения: \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \), и \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Получаем: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \). Умножение подкоренных выражений даёт \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \), поэтому выражение упрощается до \( 3 \cdot \frac{2}{2} = 3 \).

Теперь вычислим \( \vec{b} \cdot \vec{b} \). Скалярное произведение вектора самого с собой равно квадрату его длины, то есть \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2 \). Подставляем найденные значения обратно в исходное выражение: \( 2 \cdot 3 — 2 = 6 — 2 = 4 \). Таким образом, скалярное произведение \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{b} \) равно 4.