ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение \((\vec{a} \vec{2b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\).

Раскроем скалярное произведение:
\((\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2\vec{b} \cdot \vec{a} — 2\vec{b} \cdot \vec{b}\).
Подставим значения:
\(\vec{a} \cdot \vec{a} = 1\), \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 1\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).
Вычисляем:
\(1 + \left(-\frac{1}{2}\right) — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 2 = 1 — \frac{1}{2} + 1 — 2 = -\frac{1}{2}\).
Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

Для нахождения скалярного произведения выражения \((\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) сначала раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения. По определению скалярного произведения оно линейно по каждому аргументу, поэтому можно записать сумму произведений:
\((\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2\vec{b} \cdot \vec{a} — 2\vec{b} \cdot \vec{b}\).
Здесь мы просто перемножили каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй, учитывая знак минус перед \(2\vec{b}\).

Следующий шаг — подставить известные значения. По условию задачи длины векторов равны единице, то есть \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \). Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины, значит:
\(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^{2} = 1^{2} = 1\),
\(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2} = 1^{2} = 1\).
Также известно, что угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(120^\circ\). Скалярное произведение двух векторов через угол вычисляется по формуле
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^\circ\).
Подставляя значения, получаем
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = \cos 120^\circ\).
Известно, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), значит
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}\).
Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), подставим это значение также для \(\vec{b} \cdot \vec{a}\).

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
\(1 + \left(-\frac{1}{2}\right) — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 2 \cdot 1\).
Выполним арифметические операции по порядку:
Сначала сложим первые два слагаемых: \(1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
Затем вычислим произведение: \(-2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1\).
Добавим это к предыдущему результату: \(\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\).
Наконец, вычтем последнее слагаемое: \(\frac{3}{2} — 2 = \frac{3}{2} — \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}\).

Итоговое значение скалярного произведения равно \(-\frac{1}{2}\). Это число отражает, что векторы в комбинации заданы таким образом, что результат их скалярного произведения отрицателен, что связано с углом \(120^\circ\), который больше \(90^\circ\), и с коэффициентами при векторах.