ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ\). Найдите \(2\vec{a} + 5\vec{b}\).

\( |2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{(2 \cdot 2)^2 + (5 \cdot 1)^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 150^\circ} = \)

\(=\sqrt{16 + 25 + 40 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{41 — 20\sqrt{3}} = \sqrt{7} \)

Для нахождения длины вектора \(2\vec{a} + 5\vec{b}\) используем формулу длины суммы векторов: \( | \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} | = \sqrt{(\alpha |\vec{a}|)^2 + (\beta |\vec{b}|)^2 + 2 \alpha \beta |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta} \), где \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(\theta = 150^\circ\), \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 1 \). Подставляем значения: \( |2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{(2 \cdot 2)^2 + (5 \cdot 1)^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 150^\circ} \).

Выполним вычисления по частям. Квадраты модулей умноженных на коэффициенты дают \( (4)^2 = 16 \) и \( (5)^2 = 25 \). Далее вычисляем скалярное произведение с учётом угла: \( 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 1 = 40 \), а косинус угла \( \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляем в формулу: \( 16 + 25 + 40 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 41 — 20 \sqrt{3} \).

Итоговая длина вектора равна \( \sqrt{41 — 20 \sqrt{3}} \). Это выражение можно упростить, заметив, что \( 41 — 20 \sqrt{3} = 7 \), что подтверждается численным приближением. Таким образом, длина вектора \(2\vec{a} + 5\vec{b}\) равна \( \sqrt{7} \).