ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(|\vec{m}| = 1\), \(|\vec{n}| = 2\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 60^\circ\). Найдите \(2\vec{m} 3\vec{n}\).

Найдем длину вектора \(2\vec{m} — 3\vec{n}\):
\(|2\vec{m} — 3\vec{n}| = \sqrt{(2|\vec{m}|)^2 + (3|\vec{n}|)^2 — 2 \cdot 2|\vec{m}| \cdot 3|\vec{n}| \cdot \cos 60^\circ} =\)
\(= \sqrt{4 + 36 — 24 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).
Ответ: \(2\sqrt{7}\).

Для нахождения длины вектора \(2\vec{m} — 3\vec{n}\) нужно использовать формулу длины разности двух векторов. Если даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), то длина их разности равна \( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 — 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta} \), где \(\theta\) — угол между векторами. В нашем случае \(\vec{a} = 2\vec{m}\), \(\vec{b} = 3\vec{n}\), и угол между \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) равен 60 градусов. Чтобы применить формулу, сначала найдем длины векторов \(2\vec{m}\) и \(3\vec{n}\). Длина вектора умноженного на число равна произведению этого числа на длину вектора, значит \( |2\vec{m}| = 2|\vec{m}| = 2 \cdot 1 = 2 \) и \( |3\vec{n}| = 3|\vec{n}| = 3 \cdot 2 = 6 \).

Подставляя найденные значения в формулу, получаем \( |2\vec{m} — 3\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 6^2 — 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ} \). Поскольку \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), выражение упрощается до \( \sqrt{4 + 36 — 24 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{40 — 12} \). Вычислим подкоренное выражение: \( 40 — 12 = 28 \), значит длина вектора равна \( \sqrt{28} \).

Далее упростим корень из 28. Число 28 можно представить как произведение 4 и 7, то есть \( 28 = 4 \cdot 7 \). Корень из произведения равен произведению корней, поэтому \( \sqrt{28} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \). Таким образом, длина вектора \(2\vec{m} — 3\vec{n}\) равна \(2\sqrt{7}\).