ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(3; -2), B(4; 0), C(2; 1), D(1; -1) является прямоугольником.
Векторы сторон: \(\overrightarrow{AB} = (1, 2)\), \(\overrightarrow{BC} = (-2, 1)\), \(\overrightarrow{CD} = (-1, -2)\), \(\overrightarrow{DA} = (2, -1)\). Проверка скалярных произведений: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\), \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\), \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 0\), \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\). Все углы прямые, значит \(ABCD\) — прямоугольник.
Для доказательства, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником, необходимо показать, что все его углы равны 90 градусам. Для этого удобно использовать векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника, и проверить перпендикулярность соседних сторон с помощью скалярного произведения. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны, а значит угол между ними прямой.
Сначала найдём координаты векторов сторон. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (4 — 3, 0 — (-2)) = (1, 2)\). Аналогично, \(\overrightarrow{BC} = (2 — 4, 1 — 0) = (-2, 1)\), \(\overrightarrow{CD} = (1 — 2, -1 — 1) = (-1, -2)\), \(\overrightarrow{DA} = (3 — 1, -2 — (-1)) = (2, -1)\).
Теперь проверим скалярные произведения соседних векторов. Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{u} = (x_1, y_1)\) и \(\overrightarrow{v} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\). Для векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) имеем \(1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0\), что указывает на перпендикулярность. Аналогично, для \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \((-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 2 — 2 = 0\), для \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \((-1) \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -2 + 2 = 0\), и для \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AB}\): \(2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 2 — 2 = 0\).
Поскольку все четыре пары соседних сторон перпендикулярны, все углы четырёхугольника \(ABCD\) прямые. Это и есть определение прямоугольника в геометрии — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами. Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.
