ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(-1; 4), B(-2; 5), C(-1; 6), D(0; 5) является квадратом.
Длины сторон: \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{2}\).
Скалярные произведения соседних векторов равны нулю: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\), значит углы прямые.
Диагонали равны: \(AC = BD = 2\) и перпендикулярны: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\).
Следовательно, \(ABCD\) — квадрат.
Четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(-1, 4)\), \(B(-2, 5)\), \(C(-1, 6)\), \(D(0, 5)\) можно проверить на принадлежность к квадрату, изучая длины его сторон. Для этого вычислим расстояния между соседними вершинами по формуле расстояния между точками: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Длина стороны \(AB\) равна \( \sqrt{(-2 + 1)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Аналогично, \(BC = \sqrt{( -1 + 2)^2 + (6 — 5)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), \(CD = \sqrt{(0 + 1)^2 + (5 — 6)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), и \(DA = \sqrt{(-1 — 0)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Таким образом, все стороны равны между собой и имеют длину \(\sqrt{2}\).
Для проверки того, что углы четырёхугольника прямые, необходимо убедиться, что соседние стороны перпендикулярны. Это можно сделать, вычислив скалярное произведение соответствующих векторов. Векторы сторон: \(\overrightarrow{AB} = (-1, 1)\), \(\overrightarrow{BC} = (1, 1)\), \(\overrightarrow{CD} = (1, -1)\), \(\overrightarrow{DA} = (-1, -1)\). Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0\), что означает, что угол между ними равен 90°. Аналогично, \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0\), \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0\), \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 0\). Все углы прямые.
Для окончательного подтверждения, что \(ABCD\) — квадрат, проверим диагонали. Длина диагонали \(AC = \sqrt{(-1 + 1)^2 + (6 — 4)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2\), диагонали \(BD = \sqrt{(0 + 2)^2 + (5 — 5)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2\). Диагонали равны. Векторы диагоналей: \(\overrightarrow{AC} = (0, 2)\), \(\overrightarrow{BD} = (2, 0)\). Их скалярное произведение равно \(0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0\), значит диагонали перпендикулярны. Все эти условия вместе доказывают, что четырёхугольник \(ABCD\) является квадратом.
