ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A(1; 6), B(-2; 3), C(2; -1).

Векторы:
\(\overrightarrow{AB} = (-3; -3)\), \(\overrightarrow{BC} = (4; -4)\), \(\overrightarrow{CA} = (-1; 7)\)
Длины:
\(|\overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{BC}| = 4\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CA}| = 5\sqrt{2}\)
Косинусы углов:
\(\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{3}{5}\)
\(\cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0\)
\(\cos C = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}| |\overrightarrow{CA}|} = \frac{32}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{4}{5}\)

Ответ:

Для нахождения косинусов углов треугольника с вершинами \( A(1; 6) \), \( B(-2; 3) \), \( C(2; -1) \) сначала нужно определить векторы, соответствующие сторонам треугольника. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) получается вычитанием координат точки \(A\) из координат точки \(B\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (-2 — 1; 3 — 6) = (-3; -3)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BC} = (2 — (-2); -1 — 3) = (4; -4)\), а вектор \(\overrightarrow{CA} = (1 — 2; 6 — (-1)) = (-1; 7)\). Эти векторы отражают направления и длины сторон треугольника.

Следующий шаг — вычислить длины этих векторов, так как для нахождения косинусов углов необходимо знать длины сторон. Длина вектора вычисляется по формуле \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \). Для \(\overrightarrow{AB}\) длина равна \( \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \). Для \(\overrightarrow{BC}\) длина равна \( \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \). Для \(\overrightarrow{CA}\) длина равна \( \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \).

Чтобы найти косинус угла при вершине \(A\), нужно рассмотреть угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), где \(\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA} = (1; -7)\). Косинус угла между двумя векторами определяется формулой \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \), где скалярное произведение \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y \). Для угла при \(A\) скалярное произведение равно \( (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18 \). Тогда косинус угла при \(A\) равен \( \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{3}{5} \).

Для угла при вершине \(B\) рассматриваем векторы \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (3; 3)\) и \(\overrightarrow{BC} = (4; -4)\). Их скалярное произведение равно \( 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 — 12 = 0 \). Из этого следует, что косинус угла при \(B\) равен нулю, то есть угол прямой. Для угла при вершине \(C\) векторы \(\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = (-4; 4)\) и \(\overrightarrow{CA} = (-1; 7)\). Их скалярное произведение равно \( (-4) \cdot (-1) + 4 \cdot 7 = 4 + 28 = 32 \). Косинус угла при \(C\) равен \( \frac{32}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{4}{5} \).