ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите углы треугольника с вершинами A(0; 6), B(4/3; 6), C(3/3; 3).
1) \( \overrightarrow{AB}(4\sqrt{3}; 0) \), \( \overrightarrow{BC}(-\sqrt{3}; -3) \)
2) \( \overrightarrow{CD}(3\sqrt{3}; -3) \)
3) \( \cos \beta = \frac{36 — 0}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{27 + 9}} = \frac{36}{4\sqrt{3} \cdot 8} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \)
4) \( \cos \beta = \frac{-12 + 0}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{9 + 3}} = \frac{-12}{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \)
5) \( \cos \gamma = \frac{-9 + 9}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{9 + 3}} = 0 \)
Рассмотрим треугольник с вершинами \( A(0, 6) \), \( B\left(\frac{4}{3}, 6\right) \), \( C(1, 3) \). Для нахождения углов нам нужно определить векторы, соответствующие сторонам треугольника, вычислить их длины и затем через скалярное произведение найти косинусы углов.
Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{AB} \), который направлен от точки \( A \) к точке \( B \). Координаты вектора получаются вычитанием координат: \( \overrightarrow{AB} = \left(\frac{4}{3} — 0, 6 — 6\right) = \left(\frac{4}{3}, 0\right) \). Аналогично найдем вектор \( \overrightarrow{BC} = C — B = \left(1 — \frac{4}{3}, 3 — 6\right) = \left(-\frac{1}{3}, -3\right) \). Вектор \( \overrightarrow{CA} \) равен \( A — C = (0 — 1, 6 — 3) = (-1, 3) \).
Теперь вычислим длины этих векторов, которые соответствуют длинам сторон треугольника. Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна \( \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 0^2} = \frac{4}{3} \). Для \( \overrightarrow{BC} \) длина равна \( \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + (-3)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + 9} = \sqrt{\frac{82}{9}} = \frac{\sqrt{82}}{3} \). Для \( \overrightarrow{CA} \) длина равна \( \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \).
Чтобы найти углы, воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами: \( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \), где \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \) — их длины. Рассмотрим угол при вершине \( B \). Для этого возьмём векторы \( \overrightarrow{BA} = A — B = \left(0 — \frac{4}{3}, 6 — 6\right) = \left(-\frac{4}{3}, 0\right) \) и \( \overrightarrow{BC} \). Скалярное произведение равно \( \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 0 \cdot (-3) = \frac{4}{9} \). Длины векторов: \( |\overrightarrow{BA}| = \frac{4}{3} \), \( |\overrightarrow{BC}| = \frac{\sqrt{82}}{3} \). Тогда косинус угла при \( B \) равен \( \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{82}}{3}} = \frac{4/9}{\frac{4\sqrt{82}}{9}} = \frac{1}{\sqrt{82}} \approx 0.1104 \). Значит, угол при вершине \( B \) равен \( \arccos 0.1104 \approx 83.66^\circ \).
Для угла при вершине \( C \) возьмём векторы \( \overrightarrow{CB} = B — C = \left(\frac{4}{3} — 1, 6 — 3\right) = \left(\frac{1}{3}, 3\right) \) и \( \overrightarrow{CA} \). Скалярное произведение: \( \frac{1}{3} \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = -\frac{1}{3} + 9 = \frac{26}{3} \). Длины: \( |\overrightarrow{CB}| = \frac{\sqrt{82}}{3} \), \( |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{10} \). Косинус угла: \( \frac{\frac{26}{3}}{\frac{\sqrt{82}}{3} \cdot \sqrt{10}} = \frac{26}{\sqrt{82} \cdot \sqrt{10}} = \frac{26}{\sqrt{820}} = \frac{26}{28.6356} \approx 0.9078 \). Следовательно, угол при \( C \) равен \( \arccos 0.9078 \approx 24.68^\circ \).
Для угла при вершине \( A \) используем векторы \( \overrightarrow{AB} = \left(\frac{4}{3}, 0\right) \) и \( \overrightarrow{AC} = C — A = (1 — 0, 3 — 6) = (1, -3) \). Скалярное произведение: \( \frac{4}{3} \cdot 1 + 0 \cdot (-3) = \frac{4}{3} \). Длины: \( |\overrightarrow{AB}| = \frac{4}{3} \), \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10} \). Косинус угла: \( \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.3162 \). Значит, угол при \( A \) равен \( \arccos 0.3162 \approx 71.57^\circ \).
Проверим сумму углов: \( 71.57^\circ + 83.66^\circ + 24.68^\circ = 179.91^\circ \), что близко к \( 180^\circ \), как и должно быть в треугольнике. Таким образом, углы треугольника составляют приблизительно \( 71.57^\circ \), \( 83.66^\circ \) и \( 24.68^\circ \). Среди них угол около \( 17.33^\circ \) отсутствует, возможно, требуется уточнение задачи или данных.
