ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для любых двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется неравенство \(|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

Для любых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) верно неравенство треугольника: \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \).

Доказательство: \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \).

По неравенству Коши-Буняковского: \( \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}| \), значит

\( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| + |\vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \).

Отсюда \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \).

Для доказательства неравенства треугольника для векторов рассмотрим два произвольных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в евклидовом пространстве. Нам нужно показать, что длина их суммы не превышает сумму их длин, то есть \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \). Это неравенство отражает геометрический факт, что в треугольнике длина одной стороны не может быть больше суммы длин двух других сторон.

Начнём с вычисления квадрата длины суммы векторов. По определению длины вектора через скалярное произведение имеем: \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \). Раскроем скобки с помощью дистрибутивности скалярного произведения: \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \). Поскольку \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) и \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), получаем \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \).

Далее применим неравенство Коши-Буняковского, которое утверждает, что абсолютное значение скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения их длин: \( |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| \). Это означает, что \( \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}| \). Подставим это в выражение для \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \), получаем: \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \). Правая часть — это квадрат суммы длин векторов: \( (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \). Отсюда следует, что \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \). Поскольку длины неотрицательны, возьмём квадратный корень и получим искомое неравенство: \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \).