ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите взаимное расположение двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если: 1) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\), 2) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|\).

1) Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \), то \( \cos \theta = 1 \), значит \( \theta = 0^\circ \), векторы сонаправлены: \( \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b} \).

2) Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}| \), то \( \cos \theta = -1 \), значит \( \theta = 180^\circ \), векторы направлены в противоположные стороны: \( \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b} \).

Если дано, что скалярное произведение двух ненулевых векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равно произведению их длин, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \), это означает, что угол между ними равен нулю градусов. Это следует из формулы скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \). Подставляя известное значение, получаем \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta = |\vec{a}||\vec{b}| \), откуда следует, что \( \cos \theta = 1 \). Значение косинуса, равное единице, соответствует углу \( \theta = 0^\circ \), то есть векторы направлены в одну сторону, они коллинеарны и сонаправлены.

Во втором случае, когда скалярное произведение равно отрицательному произведению длин векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}| \), ситуация противоположная. Подставляя в формулу, получаем \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta = -|\vec{a}||\vec{b}| \), откуда \( \cos \theta = -1 \). Косинус угла, равный минус единице, соответствует углу \( \theta = 180^\circ \). Это значит, что векторы направлены в противоположные стороны, они коллинеарны, но противоположно направлены.

Таким образом, в первом случае векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) лежат на одной прямой и направлены одинаково, что обозначается как \( \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b} \). Во втором случае они также лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны, что записывается как \( \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b} \). Это полностью описывает взаимное расположение векторов при заданных условиях.