ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \((\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + 2\vec{b}) = \frac{3}{2}\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\).

Дано: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \frac{3}{2} \), \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \).

Раскроем скалярное произведение: \( 1 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = \frac{3}{2} \).

Отсюда: \( 3 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} \Rightarrow 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} — 3 = -\frac{3}{2} \).

Получаем: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} \).

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \alpha \), то \( \cos \alpha = -\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 120^\circ \).

Дано выражение \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \frac{3}{2} \) и модули векторов \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \). Для начала раскроем скалярное произведение по дистрибутивности: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + 2 \vec{b} \cdot \vec{b} \). Поскольку скалярное произведение коммутативно, то \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), и выражение упрощается до \( |\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 |\vec{b}|^2 \).

Подставляя известные значения модулей векторов, получаем \( 1 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 \times 1 = 3 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) \). По условию это равно \( \frac{3}{2} \), значит уравнение принимает вид \( 3 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} \). Переносим 3 в правую часть и вычитаем: \( 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} — 3 = \frac{3}{2} — \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \).

Делим обе части на 3, получаем \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} \). Из определения скалярного произведения известно, что оно равно произведению модулей на косинус угла между векторами, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha \). Подставляя значения модулей, получаем \( \cos \alpha = -\frac{1}{2} \). Значение косинуса угла, равное \( -\frac{1}{2} \), соответствует углу \( 120^\circ \). Следовательно, угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 120^\circ \).