ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC \(AB = 4\), \(AC = 10\), \(\angle BAC = 60^\circ\). На стороне BC отметили точку M так, что \(BM : MC = 3\). Найдите отрезок AM.

В треугольнике \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{16 + 100 — 80 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{76}\). Точка \(M\) делит \(BC\) в отношении \(3:1\), значит \(BM = \frac{3}{4}BC\), \(MC = \frac{1}{4}BC\). Координаты \(B(4,0)\), \(C(5, 5\sqrt{3})\), тогда \(M = \left(\frac{3}{4} \cdot 5 + \frac{1}{4} \cdot 4, \frac{3}{4} \cdot 5\sqrt{3}\right) = \left(\frac{19}{4}, \frac{15\sqrt{3}}{4}\right)\). Длина \(AM = \sqrt{\left(\frac{19}{4}\right)^2 + \left(\frac{15\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{361 + 675}}{4} = \frac{\sqrt{1036}}{4} = \frac{2\sqrt{259}}{4} = \frac{\sqrt{259}}{2}\). Ответ: \(AM = \frac{\sqrt{259}}{2}\).

В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB = 4\), \(AC = 10\) и угол между ними \(\angle BAC = 60^\circ\). Чтобы найти сторону \(BC\), применяем теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны напротив угла равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Записываем формулу: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ\). Подставляем значения: \(BC^2 = 4^2 + 10^2 — 2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 100 — 40 = 76\). Следовательно, длина стороны \(BC = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}\).

Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) и делит её в отношении \(BM : MC = 3\). Обозначим \(BM = 3x\), тогда \(MC = x\), а сумма отрезков \(BM + MC = BC\) равна \(4x = 2 \sqrt{19}\). Отсюда \(x = \frac{2 \sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{2}\). Значит, \(BM = 3x = \frac{3 \sqrt{19}}{2}\) и \(MC = \frac{\sqrt{19}}{2}\). Для удобства вычислений введём систему координат: положим точку \(A\) в начало координат \((0,0)\), а сторону \(AB\) расположим вдоль оси \(OX\), тогда точка \(B\) будет иметь координаты \((4,0)\). Поскольку угол \(BAC = 60^\circ\), координаты точки \(C\) найдём по формулам: \(C_x = AC \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\), \(C_y = AC \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}\). Таким образом, \(C = (5, 5 \sqrt{3})\).

Поскольку точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(3 : 1\), её координаты можно найти по формуле внутреннего деления отрезка: \(M = \frac{3}{4}C + \frac{1}{4}B\). Тогда \(M_x = \frac{3}{4} \cdot 5 + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{15}{4} + 1 = \frac{19}{4} = 4.75\), \(M_y = \frac{3}{4} \cdot 5 \sqrt{3} + \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{15 \sqrt{3}}{4}\). Теперь найдём длину отрезка \(AM\), используя формулу расстояния между двумя точками: \(AM = \sqrt{(M_x — 0)^2 + (M_y — 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{19}{4}\right)^2 + \left(\frac{15 \sqrt{3}}{4}\right)^2}\). Вычислим подкоренное выражение: \(\left(\frac{19}{4}\right)^2 = \frac{361}{16}\), \(\left(\frac{15 \sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{225 \cdot 3}{16} = \frac{675}{16}\). Сложим: \(\frac{361}{16} + \frac{675}{16} = \frac{1036}{16}\). Значит, \(AM = \sqrt{\frac{1036}{16}} = \frac{\sqrt{1036}}{4}\). Корень можно упростить: \(\sqrt{1036} = \sqrt{4 \cdot 259} = 2 \sqrt{259}\), следовательно, \(AM = \frac{2 \sqrt{259}}{4} = \frac{\sqrt{259}}{2}\). Ответ: длина отрезка \(AM\) равна \(\frac{\sqrt{259}}{2}\).